Base de un Espacio Vectorial: Teorema

Un vector x ∈ E puede expresarse de forma única como combinación lineal de los vectores de una base de E. Sea B = {e₁, e₂, …, e_q} una base del espacio vectorial E. Entonces, x = α₁e₁ + α₂e₂ + … + α_qe_q.

Demostración:

Supongamos que x puede expresarse de dos formas distintas en función de la base B = {e₁, e₂, …, e_q}:

x = α₁e₁ + α₂e₂ + … + α_qe_q

x = α’₁e₁ + α’₂e₂ + … + α’_qe_q

Restando ambas expresiones:

0 = (α₁ – α’₁)e₁ + (α₂ – α’₂)e₂ + … + (α_q – α’_q)e_q

Esto implica que:

α₁ – α’₁ = 0 → α₁ = α’₁

α₂ – α’₂ = 0 → α₂ = α’₂

…

α_q – α’_q = 0 → α_q = α’_q

Teorema de la Dimensión

El número de vectores de todas las bases de un espacio vectorial E es el mismo. Dim(E) = número de vectores de una base.

Demostración: F ∩ G es un Subespacio de E

1. ¿0 ∈ F ∩ G? 0 ∈ F y 0 ∈ G → 0 ∈ F ∩ G
2. ∀x, y ∈ F ∩ G → x + y ∈ F ∩ G? x + y ∈ F y x + y ∈ G → x + y ∈ F ∩ G
3. ∀x ∈ F ∩ G y ∀α ∈ K → αx ∈ F ∩ G? αx ∈ F y αx ∈ G → αx ∈ F ∩ G

Si F ∩ G = {0}, entonces F y G son disjuntos (solo comparten el vector nulo).

Norma

||.||: E → ℝ // x → ||x||. Axiomas:

1. ∀x ∈ E, ||x|| ≥ 0 y ||x|| = 0 ↔ x = 0
2. ∀x ∈ E y ∀λ ∈ ℝ → ||λx|| = |λ|.||x||
3. ∀x, y ∈ E → ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (Desigualdad triangular)

Descomposición Única en Suma Directa

Sean F y G dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E. Si E = F ⊕ G, demostrar que todo vector z ∈ E se descompone de manera única como la suma de un vector de F y otro de G.

Demostración:

Suponiendo que E es la suma directa de F y G, esto implica que: F ∩ G = {0} y F + G = E.

Supongamos que z se puede descomponer de dos formas distintas:

z = x₁ + y₁, donde x₁ ∈ F e y₁ ∈ G

z = x₂ + y₂, donde x₂ ∈ F e y₂ ∈ G

Restando ambas ecuaciones:

x₁ – x₂ = y₂ – y₁

Como x₁ – x₂ ∈ F e y₂ – y₁ ∈ G, y ambos vectores son iguales, entonces x₁ – x₂ = y₂ – y₁ ∈ F ∩ G.

Pero como E = F ⊕ G y F ∩ G = {0}, entonces x₁ – x₂ = y₂ – y₁ = 0, lo que implica que x₁ = x₂ e y₁ = y₂.

Por lo tanto, la descomposición de z como suma de un vector de F más otro de G es única.

Condiciones para ser Subespacio Vectorial

Sea E un espacio vectorial y F un subconjunto de E. La condición necesaria y suficiente para que F sea subespacio de E es que:

1. Contenga el vector nulo.
2. Sea estable respecto a la suma de vectores y al producto de un vector por un escalar.

Se tiene que cumplir que:

1. 0 ∈ F
2. ∀x, y ∈ F → (x + y) ∈ F
3. ∀x ∈ F y ∀α ∈ K → (αx) ∈ F

Sistema Generador: Demostración

Span(S) es subespacio de E.

Span(S) = {x = α₁e₁ + α₂e₂ + … + α_qe_q / α₁, α₂, …, α_q ∈ ℝ}

1. ¿0 ∈ Span(S)? 0 = α₁.0 + α₂.0 + … + α_q.0 (cumple)
2. ∀x, y ∈ Span(S) → x + y ∈ Span(S)?
   • x = α₁e₁ + α₂e₂ + … + α_qe_q
   • y = β₁e₁ + β₂e₂ + … + β_qe_q
   • x + y = (α₁ + β₁)e₁ + (α₂ + β₂)e₂ + … + (α_q + β_q)e_q (cumple ya que los α + β ∈ ℝ)
3. ∀x ∈ Span(S) y ∀α ∈ ℝ → αx ∈ Span(S)? αx = α(αe₁ + αe₂ + … + αe_q) (cumple ya que α.α_q ∈ ℝ)

Condiciones para que una Aplicación sea Lineal

1. ∀ x, y ∈ E, f(x + y) = f(x) + f(y)
2. ∀ x ∈ E y ∀ α ∈ K, f(α · x) = α · f(x)

Propiedades de las Aplicaciones Lineales

1. f(0_E) = f(0·x) = 0·f(x) = 0_F
2. Si S es un sistema ligado, f(S) también lo es.

   Demostración: 0_E = α₁·e₁ + … + α_p·e_p se cumple para algún valor α_i distinto de 0.

   f(0_E) = f(α₁·e₁ + … + α_p·e_p). 0_F = α₁·f(e₁) + … + α_p·f(e_p) se cumple para algún valor α_i distinto de 0. f(S) es un sistema ligado.

3. Si f(S) = [f(e₁), …, f(e_p)] es un sistema libre, entonces S = [e₁, …, e_p] también es un sistema libre (son L.I.).
4. Si S = [e₁, …, e_p] es un sistema libre, f(S) = [f(e₁), …, f(e_p)] puede serlo o no.

Núcleo (Kernel)

Conjunto de vectores de E cuya imagen es el vector nulo del espacio vectorial F: Ker(f) = [x ∈ E / f(x) = 0_F].

KER(f) ES SUBESPACIO VECTORIAL DE E

Demostración:

1. ¿0_E ∈ Ker(f)? f(0_E) = 0_F
2. ∀ x, y ∈ Ker(f), ¿(x + y) ∈ Ker(f)? f(x + y) = f(x) + f(y) = 0_F
3. ∀ x ∈ Ker(f) y ∀ α ∈ K, ¿α·x ∈ Ker(f)? f(α·x) = α·f(x) = 0_F

Imagen

Conjunto de vectores de F que son imagen de los vectores del espacio vectorial E.

Img(f) = [f(x) ∈ F / x ∈ E]

IMG(f) ES SUBESPACIO VECTORIAL DE F

Demostración:

1. ¿0_F ∈ Img(f)? 0_E ∈ E entonces f(0_E) = 0_F.
2. ∀ y₁, y₂ ∈ Img(f), ¿y₁ + y₂ ∈ Img(f)? y₁ + y₂ = f(x₁) + f(x₂) = f(x₁ + x₂)
3. ∀ y ∈ Img(f) y ∀ α ∈ K, ¿(α·y) ∈ Img(f)? α·y = α·f(x) = f(α·x)

rango(f) = dim Img(f)

Teorema

Sea f una aplicación lineal de E en F.

Si B = [e₁, …, e_n] es una base de E, entonces f(B) = [f(e₁), …, f(e_n)] es un sistema generador de Img(f).

Demostración:

x ∈ E, x = x₁·e₁ + … + x_n·e_n

f(x) = f(x₁·e₁ + … + x_n·e_n) = x₁·f(e₁) + … + x_n·f(e_n)

Img(f) = Span[f(e₁), …, f(e_n)]

Dim(E) = Dim Ker(f) + Dim Img(f)

Inyectiva

Ker(f) = {0_E} (dim F >= dim E)

Sobreyectiva

Img(f) = F (dim F <= dim E)

Biyectiva

Inyectiva y sobreyectiva (dim F = dim E)

Teorema

Sea f una A.L. inyectiva, f: E —-> F.

Sea S = [e₁, …, e_n] un conjunto de vectores de E L.I.

Entonces f(S) = [f(e₁), …, f(e_n)] también es un sistema libre.

Demostración:

0_F = α₁·f(e₁) + … + α_n·f(e_n) = f(α₁·e₁ + … + α_n·e_n)

Como f es inyectiva: Ker(f) = {0_E}, entonces 0_E = α₁·e₁ + … + α_p·e_p —–> α₁ = … = α_n = 0

f(e₁), …, f(e_n) son L.I.

Expresión Matricial de una A.L.

rango(f) = dim Img(f) = rango(A)

Relación entre las Matrices de una Aplicación en Distintas Bases

Si f es un endomorfismo y usamos las mismas bases para E y F: [A‘ = P^-1·A·P].

De forma general: [A‘ = R^-1·A·P]