Formas de determinar un plano

– Tres puntos, no situados sobre la misma recta, determinan un plano.
– Dos rectas paralelas determinan un plano.

– Dos rectas que se cortan determinan un plano.
– Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano.

Posición relativa de dos rectas en el espacio.

a) Rectas que se cruzan, si no existen ningún plano que las contenga.
b) Rectas paralelas, si estando en el mismo plano, no tienen ningún punto en común, o los tienen todos

c) Rectas secantes, si estando en el mismo plano, se cortan en un punto.

Posición relativa de dos planos

a) Paralelos. Si no tienen ningún punto en común.
b) Secantes. Si tienen un punto en común, en cuyo caso tienen una recta en común.
c) Coincidentes. Si son el mismo plano.

Posición relativa de recta y plano

a) Paralelos. La recta y el plano no tienen ningún punto en común.
b) Secantes. La recta tiene un punto en común con el plano.
c) Incidentes. La recta está contenida en el plano.

Proyección de un punto y de una recta en el espacio.

La proyección de un segmento AB sobre una recta r es el segmento PQ determinado en la recta por la proyección de los extremos del segmento AB.

Ángulo de recta y plano

El ángulo que forma un plano y una recta es el espacio que hay entre la recta y su proyección sobre el plano.

Semiplano.

Se llama semiplano a cada una de las dos regiones en que una recta contenida en el plano divide al mismo. 

Ángulos diedros y sus propiedades.

Se llama ángulo diedro a la región del espacio comprendida entre dos semiplanos limitados por la misma recta.
Ángulo asociado a un diedro.
Es el ángulo plano formado por dos rectas perpendiculares a la arista del diedro

Propiedades.
1. Dos ángulos diedros son iguales si y solo si lo son sus ángulos asociados.
2. El ángulo formado por dos planos, es el mayor ángulo que se puede formar entre una recta y el plano.
Los ángulos planos, los ángulos diedros pueden ser clasificados:
– Ángulo agudo, Ángulo recto, Ángulo obtuso, Ángulo llano, Ángulocóncavo, Ángulo convexo

Ángulos triedros y sus propiedades.

Tres planos que se cortan sucesivamente según rectas que concurren en un mismo punto.

Ángulos poliedros

Región del espacio limitada por tres o más planos que se cortan dos a dos según rectas concurrentes en un punto (vértice).

Triedro, tres caras. Tetraedro, cuatro caras.

Demostraciones de los polígonos

Área del romboide = Área del rectángulo = Base x altura

Área del triángulo = Área del romboide / 2 = base por altura / 2

Área del rombo = área del rectángulo / 2 = diag mayor x diag menor / 2

Área del círculo = P · a/2 = Longitud · radio/2 = 2∏r·r/2= ∏r²

Propiedades de los poliedros regulares:
– Primera propiedad: Existe un único punto interior a un poliedro regular. Se llama centro de un polígono regular al punto que equidista de todos los vértices. Se llama radio de un polígono regular a la distancia que hay entre el centro y una cualquiera de sus vértices.

– Segunda propiedad: La proyección del centro de un poliedro regular sobre una cara cualquiera es siempre el centro de la misma. Se llama apotema de un poliedro regular a la distancia del centro a una cualquiera de las caras.
La esfera centrada en el centro del poliedro regular y con radio la apotema se llama esfera inscrita en el poliedro. Esta esfera es tangente a cada una de las caras laterales del poliedro.

– Tercera propiedad: Al unir todos los vértices contiguos a un vértice dado de un poliedro regular, se forma una figura plana que constituye un polígono regular. Además, el radio correspondiente a dicho vértice es perpendicular al plano definido por dicho polígono y contiene al centro del mismo.

RELACIÓN DE EULER. En cualquier poliedro convexo se cumple que la suma del número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más 2.
Está relación debe su nombre a su descubridor, Leonhard Euler, un importante matemático del siglo XVIII

Prismas: Elementos y Características Generales

Un prisma es un poliedro que tiene dos caras iguales y paralelas, llamadas bases, y que el resto de sus caras, denominadas caras laterales, son paralelogramos. La altura de un prisma es la distancia entre sus bases. Los prismas se nombran según la forma de sus bases.

Pirámides: Elementos y Características Generales

Una pirámide es un poliedro que tiene una cara llamada base, y que el resto de sus caras, denominadas caras laterales, son triángulos que coinciden en un vértice, llamado vértice de la pirámide. La altura de una pirámide es la distancia del vértice a la base. Las pirámides se nombran según el polígono de su base

Sucesos

– Sucesos elementales: Son aquellos que están formados por un único resultado del experimento. Por ejemplo lanzar dos dados y sumar 4. A={4}

– Sucesos compuestos: Son aquellos compuestos por más de un resultado del experimento aleatorio. Tirar dos dados y que sumen par. B={2,4,6,8,10,12}

– Sucesos seguros: Los que verifican que siempre se efectúa el experimento. Tirar dos dados y sumar menos de 13. E={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

– Sucesos imposibles: Si no verifican nunca. Lanzarlos y sumar 15 ={15}

– Sucesos contrarios: Si la no verificación de uno implica la verificación de otro. Sumar par y sumar impar.

– Sucesos incompatibles: Si no se pueden verificar los dos simultáneamente. Sumar tres y sumar múltiplo de dos.

Las Leyes de Morgan ofrecen una expresión para el suceso contrario de la unión y de la intersección de dos sucesos en función de los contrarios de los mismos.

El suceso contrario de la unión de dos sucesos es igual a la intersección de sus contrarios

Cuerpos de revolución

Son aquellos cuerpos que se forman al girar una figura plana alrededor de un eje.

Volúmenes

– Cilindro: Pi · r² · h – Cono: (Pi · r² · h) / 3

– Esfera: 4/3 · PI · r² – Cubo: A³

– Prisma: Área base · h Pirámide: (Área base · h) / 3