Conceptos básicos
Fórmula de Euler
Caras + Vértices = Aristas + 2 (C + V = A + 2)
Dominio e imagen de una función
Dominio (D(f)): Conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (X).
Imagen o recorrido (Im(f) o R(f)): Conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente (Y).
Dispersión
Dispersión alta: Cuando el coeficiente de variación es mayor al 30%.
Parámetros de dispersión: Rango o recorrido, desviación típica, coeficiente de variación.
Rango: Fácil de calcular, pero sensible a valores extremos.
Sucesos
Sucesos incompatibles: No pueden ocurrir al mismo tiempo (ej: sacar oro y copas en una baraja).
Sucesos dependientes: El resultado de uno afecta al otro (ej: sacar bolas sin reemplazo).
Sucesos independientes: El resultado de uno no afecta al otro.
Probabilidad
Propiedades:
- Valor entre 0 y 1.
- Suma de probabilidades de sucesos elementales = 1.
- P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) para sucesos compatibles.
Regla de Laplace: P(A) = casos favorables / casos posibles (para sucesos equiprobables).
Funciones
Función lineal o proporcionalidad directa
y = mx (m ≠ 0)
Función afín
y = mx + n (m ≠ 0, n: ordenada al origen)
Función cuadrática
y = ax² + bx + c
Función par e impar
Par: f(x) = f(-x)
Impar: f(x) = -f(-x)
Estadística
Población y muestra
Población (N): Conjunto de elementos bajo estudio.
Muestra (n): Subconjunto de la población.
Caracteres estadísticos
Cualitativos: No se pueden medir numéricamente.
Cuantitativos:
- Discretos: Valores aislados (ej: número de hermanos).
- Continuos: Valores intermedios posibles (ej: altura).
Marca de clase
Valor medio de los extremos de un intervalo de clase.
Diagramas
Barras: Variables cualitativas y cuantitativas discretas.
Sectores: Variables cualitativas.
Histograma: Variables cuantitativas continuas o discretas.
Frecuencia
Absoluta (ni): Número de veces que se repite un valor.
Relativa (hi): ni / n (total de datos).
Parámetros
Centralización: Valores alrededor de los cuales se sitúan los demás (ej: media, mediana).
Dispersión: Miden la concentración o dispersión de los valores (ej: rango, desviación típica).
Geometría
Poliedros
Cuerpos geométricos cerrados limitados por polígonos.
Cuerpos de revolución
Generados por la rotación de una línea alrededor de un eje.
Poliedro regular
Caras iguales (polígonos regulares) y mismo número de caras en cada vértice.
Fórmulas
Prisma
Área lateral (Al): P * h
Área de la base (Ab): P * ap / 2
Área total (At): Al + 2 * Ab
Volumen (V): Ab * h
Cubo
At: Al + 2 * Ab
V: Ab * h
Diagonal
d² = a² + b² + c²
d = √(a² + b² + c²)
Pirámide
Al: P * ap / 2
Ab: P * ap*
At: P * (ap + ap*) / 2
V: 1/3 * Ab * h
Cilindro
Al: 2 * π * r * h
Ab: 2 * π * r²
At: 2 * π * r * (h + r)
V: π * r² * h
Cono
Al: π * r * g
At: π * r * (g + r)
V: 1/3 * π * r² * h
Tronco de cono
At: π * g * (R + r) + π * R² + π * r²
Esfera
Al: 4 * π * r²
At: 4 * π * r²
V: 4/3 * π * r³
Ejercicios de probabilidad
Se presentan varios ejercicios resueltos sobre probabilidad, incluyendo el uso de árboles de probabilidad y la aplicación de la regla de Laplace.