Integrabilidad

Sea f: A-> R una función real de variable real definida en un conjunto A. Se llama función primitiva de f a otra función F: A ->R, tal que F’(x) = f(x). Sea f: D -> R con D ⊂ R una función integrable en cada intervalo [a,x] con x ≥ a. Se llama integral impropia de primera especie de f sobre [a, +∞), al límite:

∫ f(x) dx = lim _x→+∞ ∫_a^x f(t) dt

(Si dicho límite existe, se dice que la integral es convergente, pero si el límite no existe, se dice que es divergente)

Sea f: D -> R con D ⊂ R una función integrable en cada intervalo [x,b] con x ≤ b, se llama integral impropia de primera especie de f sobre (-∞, b] a:

∫_-∞^b f(x) dx = lim _{x→ -∞} ∫_x^b f(t) dt

(Si dicho límite existe se dice que la integral es convergente, pero si no existe se dice que es divergente)

Si f: (a,b] ⊂ R -> R una función integrable en todo [x,b] para x ∈ (a,b] que no esté acotada a la derecha de a. Se llama integral impropia de segunda especie de f en (a,b] al límite:

∫_a^b f(x) dx = lim _x→a⁺ ∫_x^b f(x) dx (si dicho límite existe)

Sea f: [a,b) ⊂ R -> R una función integrable en [a,x] para todo x ∈ [a,b), que no esté acotada a la izquierda de b, se llama integral de segunda especie de f en [a,b) al límite

∫_a^b f(x) dx = lim _x→b^– ∫_a^x f(x) dx (si dicho límite existe)

Sea D = [a,a’] x [b,b’] = {(x,y) : a ≤ x ≤ a’, b ≤ y ≤ b’} un recinto rectangular compacto en R² y sea f: D -> R una función acotada definida en D. Dada una partición P = (D_i, i=1,…,n) de D en N sub recintos rectangulares D_i = [a_i-1, a_i] x [b_i-1, b_i] sean:

1. m_i = min f(x) donde x ∈ D_i
2. M_i = max f(x) donde x ∈ D_i

Sea µ(D_i) = (a_i – a_i-1)(b_i – b_i-1) el área del rectángulo D_i: se llama suma inferior de f en D para la partición P =(D_i, i=1,…,n) al valor s(f,P) = Σ m_iµ(D_i). Se llama suma superior de f en D para la partición P =(D_i, i=1,…,n) al valor S(f,P) = Σ M_iµ(D_i).

Sea f: D =[a,a’] x [b,b’] -> R una función acotada definida en D. Se llama integral doble de f en D al valor:

∫∫ f(x,y)dxdy = lim s(f,P)

Se llama integral doble superior de f en D al valor

∫∫ f(x,y)dxdy = lim S(f,P).

TEOREMA: sea f: [a,b] -> R una función acotada en [a,b]. Si f es integrable en [a,b], entonces la función Λ:[a,b] -> R Λ(x) = ∫_a^x f(t)dt es continua en [a,b]

Optimización

Sea f: C -> R función real, con C ⊂ R^p abierto:

• Máximo relativo estricto: f(a) > f(x) para todo x de un entorno reducido de a.
• Mínimo relativo estricto: f(a) < f(x) para todo x de un entorno reducido de a.
• Máximo relativo: f(a) ≥ f(x) para todo punto x de un entorno de a.
• Mínimo relativo: f(a) ≤ f(x) para todo punto x de un entorno de a.

(Se llama extremos relativos o locales de f a los máximos y mínimos relativos de f, si existen).

Sea f: C -> R función real, con C ⊂ R^p abierto:

• Máximo global: f(a) ≥ f(x), para todo x ∈ C con x distinto de a.
• Mínimo global: f(a) ≤ f(x), para todo x ∈ C con x distinto de a.

(Se llama extremos globales de f a los mínimos y máximos de f si existen).

• Punto estacionario o crítico: puntos a ∈ C tales que df(a) = 0.
• Puntos de silla: aquellos puntos críticos de la función que no son extremos relativos.

Condición necesaria de extremo: sea f: C -> R función real con C ⊂ R^p abierto y sea a ∈ C. Si f es diferenciable en a y tiene un extremo relativo en a, entonces la diferencial de f en a es nula, es decir, (df/dx) (a) = 0.

Sea f: C -> R función real con C ⊂ R^p abierto y convexo:

• Cóncava: x,y ∈ C, x ≠ y, λ ∈ (0,1) -> f(λx +(1-λ)y) ≥ λf(x) + (1-λ) f(y)

Cuando la desigualdad se dé siempre de modo estricto, diremos que f es estrictamente cóncava en C.

• Convexa: x,y ∈ C, x ≠ y, λ ∈ (0,1) -> f(λx +(1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ) f(y)

Cuando la desigualdad se dé siempre de modo estricto, diremos que f es estrictamente convexa en C.

Condición suficiente de extremo bajo condiciones de convexidad: sea f: C -> R función real, con C ⊂ R^p abierto y convexo. Supongamos que f es diferenciable en todo C. Entonces si:

• Si f es cóncava en C, todo punto crítico a de f es máximo global de f en C.
• Si f es estrictamente cóncava en C, hay a lo sumo un único punto crítico de f y en caso de existir es un máximo global estricto.
• Si f es convexa en C, todo punto crítico a de f es un mínimo global de f en C.
• Si f es estrictamente convexa en C, hay a lo sumo un único punto crítico de f en C y en caso de existir es un mínimo global estricto.

Condición suficiente de extremo: sea f: C -> R una función real de clase C² definida en un abierto C ⊂ R^p y sea a ∈ C un punto crítico de f, entonces:

• Si d²f (a) es una forma cuadrática definida positiva, entonces a es un mínimo relativo estricto de f en C.
• Si d²f (a) es una forma cuadrática definida negativa, entonces a es un máximo relativo estricto de f en C.
• Si d²f (a) es una forma cuadrática indefinida, entonces a no es un extremo relativo estricto de f en C.

Función lagrangiana: sea f: C -> R, FI: C -> R^q dos funciones definidas en un subconjunto abierto C ⊂ R^p (q < p).>

Condición suficiente de extremo local condicionado: sea f: C -> R, FI: C -> R^q funciones de clase C² definidas en un abierto C ⊂ R^p con (q < p).

• Definida positiva: a es un mínimo relativo de f condicionado por FI(x) = 0
• Definida negativa: a es un máximo relativo de f condicionado por FI(x)=0
• Indefinida: a no es extremo relativo de f condicionado por FI(x) =0.