Elementos de Física Relativista

En 1905, Albert Einstein publicó su teoría de la relatividad especial, la cual describe el movimiento en sistemas inerciales. Posteriormente, en 1916, Einstein amplió su teoría incluyendo sistemas no inerciales y la gravitación, dándole el nombre de «Teoría de la Relatividad General».

Relatividad en la mecánica clásica

La trayectoria de un móvil es relativa, ya que depende del observador. Por ejemplo, si un avión deja caer un objeto:

• El piloto observa que la trayectoria del objeto que cae es recta (Sistema de referencia O’).
• Un observador en tierra (O) ve la trayectoria como una parábola.

Para la mecánica clásica de Newton:

1. La trayectoria y velocidad de un móvil son relativas, ya que dependen del observador.
2. El tiempo es absoluto, ya que es invariante para los distintos sistemas de referencias O y O’.

Respecto al cálculo de la velocidad, Galileo enunció el principio de relatividad de Galileo: «Es imposible poner de manifiesto por experimentos mecánicos, si un sistema de referencia está en reposo, o se mueve con movimiento rectilíneo uniforme.»

En general, cada observador puede elegir un sistema de coordenadas que llamaremos sistemas de referencia relativa.

Transformaciones en sistemas inerciales

Un sistema de referencia es inercial cuando está en reposo o se mueve con velocidad constante.

Un suceso en el sistema O queda definido por (x,y,z,t). Para definirlo en un sistema O’ hemos de recurrir a las ecuaciones de transformación.

a) Si dos observadores están en el mismo sistema de referencia

Un suceso en P queda determinado por x=x’ y=y’ z=z’ t=t’

b) Si tenemos dos sistemas de referencias OO’ y la distancia OO’ es constante

x’=x-xo
y’=y-yo
z’=z-zo t’=t

Luego podemos medir distancias en cualquier sistema de referencia O o O’.

Transformaciones de Galileo

Supongamos que el observador O’ se mueve en dirección del eje X con velocidad constante v y que en el instante t’=t=0, O y O’ coinciden. Las ecuaciones de Galileo serían:

x’=x-vt
y’=y
z’=z
t’=t

Las ecuaciones de Galileo sirven para velocidades (trenes, aviones, etc.) muy pequeñas comparadas con la de la luz c, pero no para velocidades altas semejantes a c.

Aplicaciones de las transformación de Galileo

a) La distancia entre dos puntos es invariante en la mecánica clásica

Si O’ se desplaza con una velocidad v:

X₁‘=x₁-vt
X₂‘=x₂-vt
d’=x₂‘-x₁‘=(x₂-vt) – (x₁-vt)
d’= x₂-x₁=d

Luego los dos observadores miden la misma distancia.

b) La velocidad depende del observador

Si estos dos observadores en O y O’ miden la velocidad de un avión:

Para el observador O: u=(x₂-x₁)/(t₂-t₁)

Para el observador O’: u’= (x₂‘- x₁‘)/(t₂‘-t₁‘)

Donde x₁‘=x₁-vt₁ x₂‘=x₂-vt₂ luego u’= ((x₂-vt₂)/x₁-vt₁)/(x₂-vt₁))/(t₂‘-t₁‘) = ((x₂-x₁)- (t₂-t₁).v)/(t₂‘-t₁‘)

Si las medidas son para t₁=t₁‘ t₂=t₂‘ implica que u’=u-v

c) La aceleración es invariante en una transformación de Galileo

Si el avión aumenta de velocidad al pasar de A₁ a A₂ en O’ implica u₁‘=u₁-v u₂‘=u₂-v
u₂‘-u₁‘=(u₂-v)-u₁-v)= u₂-u₁ luego para O y O’ los dos observadores observan la misma Δv en el tiempo t, luego (u₂‘-u₁‘)/t= (u₂-u₁)/t implica que a’=a

Suponiendo que la masa m es invariable, la segunda ley de Newton será válida para todos los sistemas de referencias inerciales.

Principio de relatividad de Galileo

Las leyes físicas (de la mecánica) son las mismas en todos los sistemas de referencias inerciales.

El Problema del Electromagnetismo

Einstein observó que las leyes del electromagnetismo dejarían de ser válidas en un sistema de referencia en la cual viaje un observador a la misma velocidad de la luz, ya que el campo eléctrico sería estacionario y no habría campo electromagnético.

Luego Einstein dijo que las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo están en contradicción con la transformación de Galileo.

A) Contradicción con la velocidad de la luz

De las ecuaciones de Maxwell se deduce que las ondas electromagnéticas viajan a una velocidad constante c, que es la velocidad de la luz en el vacío.

En el sistema de referencia O: u_x=c

Para un observador en O’: u_x‘=u_x-v= c-v

Y esto está en contradicción con la solución de las ecuaciones de Maxwell para O’ en que u_x‘=c.

Si la velocidad de la luz es distinta para O y O’, las ecuaciones de Maxwell también serán distintas para cada uno de estos sistemas y esto está en contradicción con el principio de relatividad de Galileo.

B) El problema del éter

La teoría de Maxwell predice la existencia de ondas electromagnéticas que se propagan en el vacío con c. La teoría de Maxwell no necesita de un medio para que la onda se propague.

Esto contrasta con las ondas mecánicas (sonoras) que necesitan de un medio de propagación.

Para resolver este conflicto se consideró que las ondas luminosas se propagaban en el éter, el cual existe incluso en el vacío, de tal manera que se propagaban de manera análoga que las ondas mecánicas en su medio.

El éter estaba en reposo absoluto, era el sistema de referencia para medir la velocidad absoluta de un móvil y todos los objetos se movían a través de él.

Luego las ecuaciones de Maxwell eran válidas solo en el sistema en reposo del éter.

La velocidad de la luz en el vacío c era la velocidad en el sistema de referencia del éter en reposo.

Tomando como referencia el éter, la transformación de Galileo aplicada a la velocidad de la luz: u’=u-v=c-v

Todos los intentos para descubrir la presencia del éter resultaron infructuosos. Se encontró que la velocidad de la luz era la misma en todos los sistemas inerciales.

Experimento de Michelson-Morley

Michelson y Morley intentaron poner en evidencia la existencia del éter. Se trataba de medir la velocidad de la Tierra respecto al éter por medio de un espejo semiplateado, obteniéndose siempre resultados negativos, lo cual era imposible medir la velocidad absoluta de la Tierra respecto al éter.

Hoy se sabe que la velocidad de la luz en el vacío es igual para cualquier sistema de referencia, esto es, la velocidad de la luz en el vacío es un invariante.

Contracción de Lorentz – Fitzgerald

Lorentz y Fitzgerald sugirieron que si la luz tarda el mismo tiempo en recorrer dos brazos del interferómetro tanto si se mueve a favor o en contra del éter, éstos debían tener distinta longitud.

El brazo que está situado en la dirección del movimiento de la Tierra tendría que experimentar una contracción siendo su longitud:

l’=l . ( 1 – v²/c²)^½ Contracción de Fitzgerald-Lorentz

v = velocidad de interferómetro (de la Tierra)
l = longitud en reposo del éter
c = velocidad de la luz

Luego todos los cuerpos materiales que se mueven a través del éter se contraen en la misma dirección de su movimiento en una proporción ( 1 – v²/c²)^½. La máxima velocidad de un cuerpo sería c.

Teoría especial de la relatividad

Einstein interpretó el fracaso de Michelson indicando que la velocidad de la luz c es la misma para todos los sistemas inerciales, es decir que las ecuaciones de Maxwell se cumplen para todos los sistemas de referencias, por tanto rechazó la transformación de Galileo y la existencia del éter.

Postulados de Einstein. Transformación de Lorentz

1. Las leyes de la Física son válidas y tienen la misma expresión matemática en todos los sistemas de referencias inerciales.
2. La velocidad de la luz c es la misma para todos los sistemas inerciales, es decir cualquiera que sea la velocidad del foco o observador.

Al suponer que la distancia y el tiempo ya no son absolutos se dedujo nuevas ecuaciones:

x’= γ .( x – v.t)
y’= y Transformación de Lorentz
z’=z
t’= γ . ( t- (v. x)/ c²)

donde γ = 1/(1-v²/c²)^½

Consecuencias de la Transformación de Lorentz

1. Si v=0 ® γ =1 las ecuaciones relativistas se reducen a las ecuaciones no relativistas de Galileo.
2. Si v << c ® γ ~ 1 y las transformaciones de Galileo son válidas. Si v > 0,1.c hay que usar ecuaciones relativistas.
3. Las ecuaciones relativistas se llaman transformaciones de Lorentz.

Transformación relativista de la velocidad

Supongamos que la velocidad de un punto P respecto de O sea u; respecto a O’ será:

u’=(x₂‘-x₁‘)/(t₂‘-t₁‘) u= (x₂-x₁)/(t₂-t₁) sustituyendo en ecuaciones de Lorentz:

u’=( γ (x₂-vt₂)- γ (x₁-vt₁)) / ( γ (t₂-vx₂/c²) – γ ( t₁– vx₁/c²) se llega a:

u’= (u-v) / ( 1- ((u.v) / (1- v²/c²)) Ecuación de la velocidad en la teoría de la Relatividad.

Consecuencias de la transformación de Lorentz

Hay contradicción de longitud, tiempo, etc. Diferentes en la mecánica relativista que en la mecánica clásica.

Dilatación del tiempo

Un intervalo de tiempo medido en O será mayor que el medido en O’. Un reloj en movimiento camina más lento que un reloj estacionario. Se conoce por dilatación del tiempo.

t= γ . t’ ® t= t’/(1 – v²/c²)^½  Al término t’ se le llama tiempo propio.

Contracción de la longitud

La longitud de un objeto se define como la longitud de dicho objeto medida en el sistema de referencia en el cuál el objeto se encuentra en reposo.

l’ < l ® l= (1/ γ ). l’

donde l= l’ / ( 1- v²/c² )^½ l’ = longitud propia (longitud medida en el sistema móvil)

Masa relativista

Einstein demostró que la masa de un objeto en movimiento aumenta:

m= γ . m_o
m= m_o / ( 1- v²/c²)^½

m_o = masa de un objeto en reposo
m = masa de un objeto que se mueve a v en O’

Equivalencias entre masa y energía

Einstein publicó las consecuencias del aumento relativista de la masa.

Para pequeñas velocidades v ® 1/ (1-v²/c²)^½ = 1+½ v²/c² + 3/8 .v⁴/c⁴ + 5/6 . v⁶/c⁶ + … luego podemos poner que 1/ (1- v²/c²)^½ ~ 1+ ½ v²/c² luego m= m_o + ½ m_o.v²/c²

La energía cinética relativista de un objeto en movimiento: E_c= ½ m_o.v²= (m-m_o). c²

El aumento de la masa m-m_o= ½ m_o.v²/c² ® mc²= m_oc² + ½ m_o.v²

mc² = Energía total de un cuerpo
m_o.c² = Energía del cuerpo en reposo

Si la energía cinética es cero mc²=m_o.c² ® La energía total de un cuerpo en reposo es:

E= m_o.c²

Expresión de Einstein de la equivalencia Masa- Energía