Expresiones Algebraicas
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.
Longitud de la circunferencia: L = 2
r, donde r es el radio de la circunferencia.
Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
Valor Numérico de una Expresión Algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.
L(r) = 2r
r = 5 cm. L (5)= 2 · · 5 = 10 cm
S(l) = l2
l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2
V(a) = a3
a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3
Clases de Expresiones Algebraicas
Monomio
Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término.
Binomio
Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos.
Trinomio
Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos.
Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término.
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
2x2 y3 z
Partes de un Monomio
Coeficiente
El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.
Parte Literal
La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
Grado
El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.
El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6
Monomios Semejantes
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
2x2 y3 z es semejante a 5x2 y3 z
Operaciones con Monomios
Suma de Monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes.
La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
axn + bxn = (a + b)xn
2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z
Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.
2x2 y3 + 3x2 y3 z
Producto de un Número por un Monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.
5 · 2x2 y3 z = 10x2 y3 z
Producto de Monomios
El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.
axn · bxm = (a · b)xn +m
5x2 y3 z · 2 y2 z2 = 10 x2 y5 z3
Cociente de Monomios
Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.
El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.
axn : bxm = (a : b)xn − m
Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.
Potencia de un Monomio
Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al exponente de la potencia.
(axn)m = am · xn · m
(2x3)3 = 23(x3)3 = 8x9
(−3x2)3 = (−3)3(x3)2 = −27x6
Polinomios
Concepto de Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + a1 x1 + a0
Siendo an, an -1 … a1 , ao números, llamados coeficientes.
n un número natural.
x la variable o indeterminada.
an es el coeficiente principal.
ao es el término independiente.
Grado de un Polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.
Tipos de Polinomios
Polinomio Nulo
El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio Homogéneo
El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy
Polinomio Heterogéneo
Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 – 3
Polinomio Completo
Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x – 3
Polinomio Ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x – 3
Tipos de Polinomios según su Grado
Polinomio de Grado Cero
P(x) = 2
Polinomio de Primer Grado
P(x) = 3x + 2
Polinomio de Segundo Grado
P(x) = 2x2+ 3x + 2
Polinomio de Tercer Grado
P(x) = x3 – 2x2+ 3x + 2
Polinomio de Cuarto Grado
P(x) = x4 + x3 – 2x2+ 3x + 2
Tipos de Polinomios por el Número de Términos
Monomio
Es un polinomio que consta de un sólo monomio.
P(x) = 2x2
Binomio
Es un polinomio que consta de dos monomios.
P(x) = 2x2 + 3x
Trinomio
Es un polinomio que consta de tres monomios.
P(x) = 2x2 + 3x + 5
Valor Numérico de un Polinomio
El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x – 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 – 3 = 2 + 5 – 3 = 4
Polinomios Iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
1 Los dos polinomios tienen el mismo grado.
2 Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
P(x) = 2x3 + 5x – 3
Q(x) = 5x – 3 + 2x3
Polinomios Semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7
Suma de Polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x – 3 Q(x) = 4x – 3x2 + 2x3
1 Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x3 – 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x – 3) + (2x3 – 3x2 + 4x)
2 Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 – 3 x2 + 5x + 4x – 3
3 Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x3– 3x2 + 9x – 3
Resta de Polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x – 3) − (2x3 – 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x – 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x – 3
P(x) − Q(x) = 3 x2 + x – 3
Producto
Producto de un Número por un Polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y comocoeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · ( 2x3 – 3 x2 + 4x – 2) = 6x3 – 9x2 + 12x – 6
Producto de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x2 · (2x3 – 3x2 + 4x – 2) = 6x5 – 9x4 + 12x3 – 6x2
Producto de polinomios
P(x) = 2x2 – 3 Q(x) = 2x3 – 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2 – 3) · (2x3 – 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
Cociente de polinomios
Resolver el cociente:
P(x) = x5 + 2x3 −x – 8 Q(x) = x2 −2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completodejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Realizamos el cociente entre el primer monomio del dividendo y el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
División de polinomios
Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos unmétodo más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini .
Resolver por la regla de Ruffini la división:
(x4 −3x2 +2 ) : (x −3)
1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.
2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.
4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.
5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.
6Sumamos los dos coeficientes.
7Repetimos el proceso anterior.
Volvemos a repetir el proceso.
Volvemos a repetir.
8El último número obtenido, 56 , es el resto.
9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.
x3 + 3 x2 + 6x +18
Productos notables
Binomio al cuadrado
Un binomio al cuadrado es igual es igual al cuadrado del primer término más, o menos, el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Suma por diferencia
Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x – 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2− 25
Binomio al cubo
Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más, o menos, el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero por el cuadrado del segundo más, o menos, el cubo del segundo.
(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9 x2 + 27 x + 27
(2x – 3)3 = (2x)3 – 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 – 33=
= 8x 3 – 36 x2 + 54 x – 27
Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2 · 1 + 2 · (-x) · 1=
= x4 + x2 + 1 – 2x3 + 2x2 – 2x=
= x4– 2x3 + 3x2 – 2x + 1
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 – 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6