Las Fracciones y sus Operaciones

1. Introducción a las Fracciones

Las fracciones son una parte fundamental de las matemáticas y se utilizan para representar partes de un todo. Su comprensión es esencial para el desarrollo de habilidades matemáticas más avanzadas.

2. Tipos de Problemas Multiplicativos

2.1. Isomorfismo de Medias

Este esquema, también conocido como regla de tres, es fundamental en la enseñanza elemental. Se basa en una relación cuaternaria entre cuatro cantidades, donde se conoce la relación entre tres de ellas y se busca la cuarta. Ejemplo: Tengo 3 paquetes de yogures. Hay 6 yogures en cada paquete. ¿Cuántos yogures tengo?

2.2. Producto de Medias

Este tipo de problema se resuelve mediante el producto cartesiano. Se relaciona tres cantidades, donde una es el producto de las otras dos, tanto en el valor numérico como en las unidades. Ejemplo: Para formar el uniforme de un equipo de fútbol, se dispone de 5 tipos de camisetas y 4 tipos de pantalón. ¿De cuántas maneras distintas se puede uniformar al equipo?

2.3. Comparación

En este caso, solo aparece un campo de medias, similar al isomorfismo de medias. Se compara una cantidad con otra que es un múltiplo o una fracción de la primera. Ejemplo: La varilla A mide 40 cm y la B 3 veces más que la A. ¿Cuánto mide la B?

3. Divisibilidad de los Números Naturales

3.1. Múltiplo

Un número es múltiplo de otro si se obtiene al multiplicar ese número por cualquier otro número natural.

3.2. Divisor

Un número es divisor de otro si cabe en él un número exacto de veces.

3.3. Propiedades de la Divisibilidad

• Todo número es múltiplo y divisor de sí mismo.
• Si un número divide a otro y este a un tercero, el primero divide al tercero.
• Si un número es múltiplo de otro y este es múltiplo de un tercero, entonces el primero es múltiplo del tercero.
• El 0 se considera múltiplo de cualquier número.
• Si un número es divisor de otros dos, lo será de su diferencia.

3.4. Números Primos y Compuestos

3.4.1. Números Primos

Los números primos son aquellos números naturales mayores que 1 que tienen únicamente dos divisores: 1 y sí mismo.

Reconocimiento de números primos:

• Criba de Eratóstenes: Es un método para encontrar todos los números primos dentro de una lista ordenada de números naturales (excepto el 0 y el 1). Se tachan los múltiplos de 2, 3, 5, 7, 11, y así sucesivamente.
• Descomposición en factores primos: Se divide el número entre todos los números primos hasta que, en caso de que no sea primo, encontremos un divisor que dé como resto 0. Si el cociente es mayor que el divisor y no se ha encontrado un resto igual a 0, el número es primo.

3.4.2. Números Primos entre sí

Dos números son primos entre sí si su máximo común divisor (MCD) es 1. Los números primos entre sí no tienen por qué ser primos, pero los números primos son obligatoriamente primos entre sí.

3.4.3. Números Compuestos

Los números compuestos son aquellos que no son primos y tienen uno o más divisores distintos de 1 y sí mismo.

4. MCM y MCD

4.1. Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El MCM de dos o más números es el menor de sus múltiplos comunes. Se puede calcular descomponiendo los números en factores primos y tomando los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. Ejemplo: El MCM de 12 y 24 es 24.

4.2. Máximo Común Divisor (MCD)

El MCD de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes. Se puede calcular descomponiendo los números en factores primos y tomando los factores comunes elevados al menor exponente. Ejemplo: El MCD de 12 y 24 es 12.

También se puede hallar mediante el algoritmo de Euclides: se divide el mayor entre el menor, si la división es exacta, el divisor es el MCD; si es inexacta, se divide el divisor entre el resto y se repite el proceso hasta obtener una división exacta.

5. Fracciones

5.1. Fracción Decimal

Una fracción decimal es aquella cuyo denominador es la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000, etc.).

5.2. Aplicación de las Fracciones en el Aula

• Como parte de un todo: Se divide un todo en partes iguales. El numerador indica el número de partes que se toman y el denominador el número total de partes. El modelo de áreas es útil para representar fracciones, especialmente en primaria.
• Como resultado de una medida: Se divide la unidad de medida en partes. El numerador indica el número de partes consideradas y el denominador el número de partes en que se divide la unidad.
• Como relación entre una parte del todo y otra: Se expresa la relación entre dos partes de un todo mediante una fracción. Ejemplo: 2 a 5.
• Como resultado de un reparto o como cociente: Se concibe la fracción como una división. Ejemplo: 3/4 representa el resultado de dividir 3 entre 4.

5.3. Fracciones Equivalentes

Las fracciones equivalentes son aquellas que representan la misma cantidad, aunque tengan distinto numerador y denominador. Se obtienen multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número. Para comprobar si dos fracciones son equivalentes, se multiplica en cruz el numerador de una por el denominador de la otra. Si los productos son iguales, las fracciones son equivalentes.

5.4. Simplificar Fracciones

Simplificar una fracción consiste en dividir el numerador y el denominador por el mismo número hasta obtener una fracción irreducible, cuyo MCD es 1.

5.5. Números Racionales

Un número racional es un conjunto de fracciones equivalentes. Se representa por la fracción irreducible del conjunto. Ejemplo: El número racional 3/7 representa el conjunto de todas las fracciones equivalentes a 3/7.

6. Tipos de Fracciones

6.1. Fracciones Propias

Son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador. Ejemplo: 2/5.

6.2. Fracciones Impropias

Son aquellas en las que el numerador es mayor o igual que el denominador. Ejemplo: 7/4.

6.3. Fracciones Mixtas

Son una forma de representar fracciones impropias, utilizando una parte entera y una fraccionaria. Ejemplo: 2 1/3 (dos enteros y un tercio).

7. Comparación de Fracciones

Para comparar dos fracciones, se buscan fracciones equivalentes con el mismo denominador. La fracción con el mayor numerador será la mayor.

8. Operaciones con Fracciones

8.1. Suma y Resta

Para sumar o restar fracciones, se debe igualar el denominador. Se puede hacer gráficamente o buscando el MCM de los denominadores. Una vez que los denominadores son iguales, se suman o restan los numeradores.

8.2. Multiplicación

Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

8.3. División

La división de fracciones se puede realizar de tres formas:

• En cruz: Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda.
• Inversa: Se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda. Ejemplo: 3/7 : 4/8 = 3/7 x 8/4.
• Pura: Se coloca una fracción encima de la otra y se busca el factor desconocido que, al multiplicar el numerador y el denominador de la segunda fracción, da como resultado el numerador y el denominador de la primera fracción.

9. Fracción Generatriz

La fracción generatriz es la fracción que da origen a un número decimal.

9.1. Decimal Periódico Puro

El numerador es el número dado sin la coma, menos la parte entera. El denominador es un número formado por tantos nueves como cifras tiene el periodo. Ejemplo: 1,13 (periodo 13) = (113 – 1) / 99.

9.2. Decimal Periódico Mixto

El numerador es el número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas. El denominador es un número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica. Ejemplo: 1,13 (periodo 3) = (113 – 11) / 90.

9.3. Decimal Exacto

El numerador es el número dado sin la coma. El denominador es la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Ejemplo: 1,27 = 127/100.