Entropía como Probabilidad

Todos los estados microscópicos son igualmente probables. Es claro que el estado mesoscópico más probable es aquel que tiene asociado mayor cantidad de estados microscópicos; esto es, se debe maximizar W.

Donde V_ij: es el total de los viajes y las únicas matrices (V_ij) que se permiten son las que satisfacen las restricciones a nivel macro de O_i – D_j.

Encontrando el Estado Mesoscópico Más Probable

¿Para encontrar el estado mesoscópico más probable de los que satisfacen las restricciones a nivel macro?
R: Se debe maximizar W, o por matemáticas con Ln:

Aproximación para Maximizar la Entropía

¿Cuál es la aproximación importante que ayuda a maximizar la entropía?
R: La fórmula de Stirling:

Para N grande:

Esto se puede reescribir en términos de p_ij:

Queda:

Por lo tanto, nos queda:

Definición de Entropía Recomendada

¿Cuál de las dos definiciones de entropía se recomienda?
Se recomienda la entropía de una distribución de probabilidad debido a que:

• No necesita aproximación de Stirling: razón importante ya que es posible demostrar que las derivadas con o sin aplicación coinciden.
• Es más flexible, ya que entiende la probabilidad como un concepto subjetivo que demuestra la ignorancia del modelador.

La primera definición corresponde a una interpretación de la probabilidad como algo capaz de ser medido, observando frecuencias de resultados en experimentos aleatorios; la segunda ratifica lo que habíamos comentado, en el sentido que la distribución de probabilidades que maximiza la entropía es la que requiere menor cantidad de suposiciones.

Jerarquías en el Modelo de Maximización de la Entropía

El modelo de maximización de la entropía divide los viajes en tres jerarquías. ¿Cuáles son? Explique qué maximiza.

• Macro: Regido por las restricciones totales del sistema.
• Meso: (V_ij) número total de viajes entre zonas.
• Micro: Origen y destino de cada individuo.

Maximiza el número total de viajes realizados y atraídos, además de maximizar el valor del tiempo, coste generalizado de transporte, simulación de distribución de viajes (simples y complejos).

Modelos de Distribución

¿Qué buscan los modelos de distribución?
R: Los modelos de distribución, que se encuentran en la parte de demanda del modelo de 4 etapas, buscan distribuir de mejor forma los viajes totales producidos (sumatoria de viajes = orígenes y atraídos = destinos) obtenidos por el modelo de generación de viajes. ¿Qué restricciones tienen en común el modelo gravitacional y el de maximización de la entropía?

• Sumatoria V_ij = O_i
• Sumatoria V_ij = D_j

Significa que el total de orígenes generados O_i, debe ser igual al total de destinos generados D_i.

¿En qué modelos se basa el conteo de matrices de bajo costo?
R: En el gravitacional y maximización de la entropía.

¿Qué modelos usan para utilizar matrices y cuándo?

1. Gravitacional
2. Multiproporcional, cuando tenemos una red y queremos actualizarla a los datos actuales.
3. BRP

¿En qué teoría se basan el modelo gravitacional y maximización de la entropía?
En la distribución de la probabilidad y probabilidad con noción de incertidumbre. Porque el modelo gravitacional puede no representar bien el comportamiento de V_ij, como por ejemplo en una subárea y cuando se desea actualizar una matriz con conteos. ¿Por qué y cuándo se utilizan los modelos de bajo costo?
Porque el modelo gravitacional puede no representar bien el comportamiento de V_ij, como por ejemplo en una subárea y cuando se desea actualizar una matriz con conteos.

¿Por qué y cuándo se utilizan los modelos de bajo costo?
Porque el modelo gravitacional puede no representar bien el comportamiento de V_ij, como por ejemplo en una subárea y cuando se desea actualizar una matriz con conteos.

¿Qué modelos se usan para utilizar matrices y cuándo?
Gravitacional, Multiproporcional (cuando tenemos una red y queremos actualizarla a los datos actuales), BRP. Explique cada término de la siguiente ecuación y en qué casos la utilizaría:

F_a = Sumatoria V_ij * p_ij^a

• F_a = factor de la cota
• V_ij = Viajes realizados desde un origen a un destino
• p_ij^a = Es la proporción de viajes desde un origen a su destino por una ruta

En el Modelo de Distribución

¿De dónde se obtiene la información para los modelos de generación?
El modelo de maximización de la entropía utilizado en el modelo de distribución de viajes, entropía como probabilidad, ¿qué supone para encontrar los V_ij?
El modelo supone que todos los estados microscópicos son igualmente probables y el estado mesoscópico más probable es el que tiene asociado una mayor cantidad de estados microscópicos.

¿Qué son los p_aij?
R: Son la proporción de viajes desde el origen i al destino j que van por la ruta a. ¿En qué métodos se basan los modelos de bajo costo? ¿Cuándo se utilizan y para qué?
R: Se basan en el modelo gravitacional y en la maximización de la entropía. Se usan para actualizar matrices de viajes.

A usted le solicitan actualizar matrices en las cuales solo le dan los orígenes y destinos, ¿qué método utiliza?
R: Utiliza el modelo BRP, que se basa en el modelo gravitacional. Para el submodelo de distribución, ¿qué métodos utiliza?
R: Se utilizan los modelos de maximización de la entropía y gravitacional, entrega la distribución entre los O_i y D_j. ¿Qué modelo de distribución se utiliza para encontrar la matriz más probable?
R: Se usa el modelo de maximización de la entropía. Los p_ij^a es la proporción de viajes entre i y j, que utiliza el arco a. ¿Qué información necesita para utilizar los modelos de bajo costo, basado en el principio de maximización de la entropía?
R: Se utilizan conteos de tráficos entre dos puntos.

¿Qué busca el modelo de distribución de viajes?
R: Busca encontrar cómo se distribuyen los orígenes y destinos en los viajes V_ij.

La entropía se verá como objetiva en la termodinámica y subjetiva para la creación de modelos.

Hay dos acepciones:

1. La entropía como probabilidad: utiliza el supuesto de que todos los estados microscópicos son igualmente probables. Además, jerarquiza: Macro (serán las restricciones que hay en el sistema), Meso (serán el número de viajes que hay en una zona), Micro (los orígenes y destinos de los viajes de los individuos). Las restricciones aquí estarán a nivel macro.
2. La entropía como distribución de probabilidad: sirve para aclarar al modelador y tendrá menos supuestos al ser más flexible.

¿Por qué se maximiza W?
R: Se maximiza W para encontrar el estado mesoscópico más probable. Ya que el estado mesoscópico más probable será el que tiene asociado mayor cantidad de estados microscópicos satisfaciendo las restricciones a nivel macro.

Considere la siguiente función de entropía sujeta a cuatro tipos de restricciones (origen, destino, costo y oportunidades en el destino):

Obtenga la condición de primer orden para los viajes entre un par origen-destino V_ij cualquiera. A partir de esta condición, especifique la ecuación que arroja el número de viajes V_ij.

Características de los Modelos de Bajo Costo

Son fáciles de usar, requieren pocos recursos (datos, personal, etc.), usan información de bajo costo (fácil de recolectar o disponible de otras fuentes) y permiten el uso de información histórica.

Modelos Simplificados

Alternativas de modelación de transporte simplificada: modelos idealizados (más coches, más infraestructuras), planificación esquemática (modelización sencilla con modelos avanzados selectivos), juegos de simulación (juegos de guerra).

Nos centramos en los modelos simplificados basados en conteos de tráfico.