Sistemas de Fuerzas y Centro de Masas

Se llama así a un sistema formado por dos vectores deslizantes paralelos que tienen el mismo módulo y sentidos contrarios. Centro de masas. Teorema de Pappus-Guldin. Consideremos un sistema formado por varias masas puntuales discretas m_i. Los pesos de todas ellas, F_i = m_i * g, darán lugar a un sistema de fuerzas paralelas como el descrito, cuyo centro tendrá por coordenadas, en donde la resultante es ahora el peso total, el punto cuyas coordenadas (3-52), se llama centro de masa o centro de gravedad o baricentro del sistema. La variable de integración es la masa, que adoptará formas distintas según la geometría del objeto.

• Densidad lineal, una dimensión H = m/l.
• Densidad superficial, bidimensional dm = hdx.
• Densidad volumétrica, tridimensional g 0 m/v.

Si el objeto es homogéneo, es decir que la masa se reparte uniformemente, la densidad será constante, por lo contrario la densidad será una cierta función de las coordenadas.

Sólido Rígido y Movimiento

Se denomina sólido rígido a todo cuerpo que no se deforma al aplicarle fuerzas o momentos, conservando por tanto su forma durante todo su movimiento. Un sólido rígido es un sistema de masas puntuales en el que las distancias entre ellas no varían por la acción de las fuerzas o de momentos. Los movimientos de un sólido rígido se pueden descomponer en traslaciones y rotaciones.

• En una traslación todos los puntos del sólido siguen trayectorias paralelas.
• En una rotación sobre un eje todos los puntos giran circularmente en torno al mismo, salvo aquellos que están situados sobre dicho eje.

Momento Angular, Momento de Inercia y Radio de Giro

Sea un sólido rígido que gira con velocidad angular ω alrededor de un eje fijo. Un punto cualquiera m del sólido tiene masa m_i, dista r_i del eje y se mueve sobre una trayectoria circular perpendicular al eje con velocidad tangencial v_i. Pero por ser circular la trayectoria, r_i y v_i son perpendiculares y el módulo de este momento cinético, teniendo en cuenta que v_i = ω * r_i. L = m_i * r_i * v_i = m_i * ω * r_i². O L = Iω, donde I se denomina momento de inercia respecto al eje de giro.

Se denomina radio de giro a la distancia al eje de giro en la que debería estar concentrada toda la masa del sólido para que no varíe el momento de inercia. I = M * R², y si el sólido es continuo I = ∫r²dm.

Si comparamos la expresión del centro de masas, con la del momento de inercia, vemos que en la primera aparecen los productos m_i * r_i, llamados momentos de primer orden, y en la segunda expresión tenemos los productos m_i * r_i², que se denominan momentos de segundo orden.

Ecuación Fundamental del Movimiento de Rotación

La expresión L = I * ω, relaciona el momento angular de un cuerpo con su momento de inercia. Por otra parte, vimos que existe una relación entre el momento resultante de las fuerzas exteriores y la variación con el tiempo del momento angular. Es decir, que el momento resultante de las fuerzas exteriores que obran sobre el sistema es igual al producto de su momento de inercia por su aceleración angular. Esto constituye la segunda ley de Newton aplicada a la rotación i (M = Iα, 8-25) es una de las formas de escribir la ecuación fundamental de la rotación.

Energía Cinética

Consideremos un sólido rígido en rotación formado por partículas de masa m_i que giran describiendo circunferencias de radios r_i, con velocidades tangenciales v_i. La energía cinética del conjunto será la suma de la que tenga cada partícula. Por tanto, la energía cinética de rotación, es el semiproducto del momento de inercia por el cuadrado de la velocidad angular, recordando que el trabajo elemental de rotación es: dW = M * dε, así como la expresión (8-25) y la de la aceleración angular, escribiremos; dW = m * d * g = I * α * dg = I * dω/dt * dg = Iω * dω. Trabajo total = ∫dW.

Esto constituye el teorema de las fuerzas vivas en rotación, que nos indica que el trabajo de rotación es la variación de la energía cinética de rotación, lo cual es otra forma de expresar el teorema de las fuerzas vivas. Cuando tenemos un sólido rígido que gira alrededor de un eje que pasa por su centro de masa y al mismo tiempo se desplaza con movimiento de traslación respecto a un sistema exterior de referencia, la energía cinética relativa a este último será la energía cinética de rotación más la de traslación.

Fuerzas en Cuerpos Rígidos y Equilibrio

Se ha definido la estática como aquella parte de la mecánica que se ocupa de estudiar el equilibrio de los cuerpos o de los sistemas de cuerpos. Estos cuerpos o sistemas de cuerpos no se mueven, aunque están sometidos a determinadas fuerzas. Fijándonos en sus efectos, puede decirse que una fuerza es aquella causa capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo, y de producir deformaciones en el mismo. Las fuerzas poseen módulo, dirección y sentido, es decir que son vectores, y como su efecto no varía aunque se desplacen a lo largo de sus rectas soporte, se trata de vectores deslizantes. Las fuerzas pueden aplicarse directamente sobre el cuerpo, llamándose de contacto, o bien operar a distancia. Por otra parte, si tenemos un conjunto de puntos materiales, las que se ejercen entre sí dichos puntos se denominan fuerzas interiores, y aquellas que no procedan de este conjunto, fuerzas exteriores.

Un cuerpo rígido es aquel en que la distancia entre dos de sus puntos cualesquiera permanece constante, independientemente de las fuerzas que actúan sobre él. En caso contrario será un cuerpo deformable. Además un cuerpo es continuo si la distancia entre dos de sus puntos materiales es infinitamente pequeña, y discontinuo en caso contrario.

Momentos de una Fuerza

El concepto de momento de una fuerza deriva de la palanca, se consiguen resultados muy diferentes según cual sea el punto de aplicación de la misma. Dada una fuerza cualquiera, su posición con respecto a un cierto punto, una cierta recta o un cierto plano determinará el valor de los correspondientes momentos de la misma.

Momento de una Fuerza Respecto a un Punto

Es el más importante, denominado también momento central o polar.

1. El momento central de una fuerza es nulo si el origen de momentos es un punto de soporte de su recta. Esto es cierto por ser d = 0.
2. El momento central de una fuerza no varía si esta se desplaza sobre su recta soporte. Se cumple lo anterior por mantenerse constante F y d.

Momento de una Fuerza Respecto a un Eje

Este momento se denomina también axil, es igual a la proyección sobre dicho eje del momento de la fuerza respecto a un punto cualquiera del mismo.

Ligaduras y Reacciones

Un cuerpo libre es aquel que se puede mover en cualquier dirección del espacio, mientras que un cuerpo ligado tiene ciertas restricciones en sus movimientos. Ligadura es cualquier condición que limita el movimiento de un cuerpo. Reacción de ligadura es la fuerza con la que esa ligadura actúa sobre el cuerpo, limitando sus movimientos. Dicha reacción tiene sentido contrario a aquel en que la ligadura impide moverse al cuerpo.

• Superficie lisa o apoyo: La reacción sigue la normal común a las superficies de los cuerpos en el punto de contacto y si una de las superficies se reduce a un punto, dicha normal es la de la otra superficie, se supone que no hay rozamiento.
• Hilo o cuerda: supuestos flexibles e inextensibles, la reacción es la tensión y está dirigida a lo largo del hilo o la cuerda hacia el punto del que penden.
• Barra cargada: Si su peso es despreciable frente a la carga que soporta, la reacción sigue la dirección de su eje.
• Rótula: Su reacción puede tener cualquier dirección en el espacio.
• Charnela: La reacción puede encontrarse en cualquier dirección sobre el plano perpendicular al eje de la charnela.

En los cuerpos ligados se verifica que puede considerárselos como libres si se suprimen las ligaduras sustituyéndolas por las correspondientes reacciones.

Condiciones de Equilibrio

Si se trata de un punto material, se encontrará en equilibrio cuando se anule la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre él. Si tenemos un sólido rígido, debe anularse la suma vectorial de todas las fuerzas y de todos los momentos que actúan sobre él. Las tres condiciones de equilibrio de rotación (3.71 y 3.72).

Clases de Equilibrio

El equilibrio puede ser estable cuando al separar un cuerpo infinitamente poco de su posición de equilibrio este vuelve a aquella. Será inestable si desplazándolo en las condiciones anteriores, el cuerpo se aleja de la posición inicial. Finalmente será indiferente cuando no se da ninguna de las dos anteriores.