Estimación Geoestadística: Estimadores Lineales

La estimación busca predecir el valor de una variable regionalizada (como ley, dureza, densidad, etc.) en un sitio sin muestrear, utilizando datos cercanos (por ejemplo, de sondajes). El valor estimado en un sitio sin datos se calcula como una combinación lineal ponderada de los datos disponibles en su vecindad.

Las características de los estimadores lineales dependen de varios factores:

• Cercanía de los datos al sitio a estimar.
• Continuidad espacial de la variable.
• Presencia de anisotropía.
• Redundancia de los datos.

Estimadores Tradicionales

Existen varios métodos de estimación tradicionales:

• Vecino más cercano / Polígono de influencia: Asigna toda la ponderación al dato más cercano al sitio a estimar. El sitio a estimar pertenece al polígono de influencia del dato que recibe la ponderación.
• Inverso de la distancia (IDW): Cada ponderador es una función del inverso de la distancia entre el dato y el sitio a estimar. Es un método ampliamente aplicado por su sencillez y rapidez, aunque no considera anisotropías.

Estos dos métodos son frecuentemente utilizados debido a su simplicidad y velocidad de cálculo. En general, las estimaciones producidas por diferentes métodos tienden a ser similares.

Otros métodos menos comunes incluyen: vecindad natural (Sibson), Akima, media móvil y triangulación de Delaunay.

Ventajas de los Estimadores Tradicionales:

• Fáciles de implementar y utilizar.
• Privilegian los datos más cercanos.
• Permiten obtener funciones de estimación con ciertas características deseadas.

Desventajas de los Estimadores Tradicionales:

• No consideran la continuidad espacial de la variable regionalizada (por ejemplo, el efecto pepita).
• No tienen en cuenta la anisotropía.
• No proporcionan una medida de la precisión o incertidumbre de la estimación.

Kriging: El Estimador Óptimo

El Kriging se considera el mejor estimador lineal insesgado (MELI o BLUE en inglés) porque supera las limitaciones de los métodos tradicionales. Incorpora:

• La continuidad espacial (modelada por el variograma o la covarianza, incluyendo el efecto pepita).
• La dirección de las anisotropías.
• Una medida de la precisión de la estimación (varianza de Kriging).

Tipos de Kriging

Existen diversas variantes del Kriging, entre las más comunes:

• Kriging Simple (KS): Asume que la media de la variable regionalizada es conocida y constante en todo el dominio.
• Kriging Ordinario (KO): Asume que la media es desconocida pero localmente constante (dentro de la vecindad de estimación).
• Kriging Universal o con Deriva Externa: Modela la media como una función de las coordenadas u otras variables.
• Kriging No Lineal (Disyuntivo, Indicador, etc.): Para estimar funciones no lineales de la variable.

Construcción del Sistema Kriging

Para derivar las ecuaciones del Kriging, se imponen tres restricciones fundamentales sobre el estimador:

1. Linealidad: La estimación es una combinación lineal ponderada de los datos.
2. Insesgo: El error esperado de la estimación es cero.
3. Optimalidad: Se minimiza la varianza del error de estimación (varianza de Kriging).

La expresión general del estimador lineal es la misma; las diferencias entre los tipos de Kriging surgen de cómo se aplican estas condiciones (especialmente la de insesgo) y las hipótesis subyacentes.

Kriging Simple (KS)

El Kriging Simple se basa en las siguientes hipótesis:

• La media (µ) de la variable regionalizada es conocida y constante.
• Se conoce la función de variograma o, equivalentemente, la función de covarianza. Se asume estacionariedad de segundo orden (existencia de una función de covarianza que solo depende del vector de separación). Si el variograma tiene meseta, la covarianza está directamente relacionada.

Restricciones del KS:

1. Linealidad: La estimación en un sitio x₀ es una combinación lineal ponderada de los n datos Z(xᵢ):
   Z*(x₀) = Σᵢλᵢ Z(xᵢ) + (1 – Σᵢλᵢ) µ
2. Insesgo: Se satisface automáticamente al usar la media conocida. La media compensa la falta de información cuando hay pocos datos o están muy alejados (en esos casos, los ponderadores λᵢ tienden a ser bajos y el término asociado a la media (µ) gana peso). Es equivalente a estimar la variable residual (Z(x) – µ), que tiene media cero, y luego sumar la media µ al resultado.
3. Optimalidad: Se busca minimizar la varianza del error de estimación, E[(Z*(x₀) – Z(x₀))²], conocida como varianza de Kriging. Esta varianza mide la precisión del estimador y, al igual que los ponderadores, depende únicamente de la configuración geométrica de los datos y el punto a estimar, y del modelo de covarianza (o variograma), no de los valores de los datos en sí.

Utilizando la notación matricial y aplicando la condición de optimalidad (derivando la varianza del error respecto a los ponderadores e igualando a cero), se obtiene un sistema de ecuaciones lineales. La solución de este sistema entrega los ponderadores óptimos (λᵢ). El sistema relaciona la matriz de covarianzas entre los datos (izquierda) con el vector de covarianzas entre cada dato y el sitio a estimar (derecha). El sistema de Kriging Simple se escribe naturalmente en función de la covarianza.

Kriging Ordinario (KO)

El Kriging Ordinario es la variante más utilizada y se aplica cuando:

• La media de la variable regionalizada es desconocida, pero se asume que es localmente constante (hipótesis de cuasi-estacionariedad). Es decir, la media puede variar globalmente, pero se considera constante dentro de la vecindad utilizada para cada estimación local.
• Se conoce la función de variograma (que puede o no tener meseta) o la función de covarianza.

El KO es más robusto que el KS, ya que la hipótesis de estacionariedad estricta (media constante global) a menudo no se cumple en la práctica.

Restricciones del KO:

1. Linealidad: Similar al KS, la estimación es una combinación lineal ponderada de los datos:
   Z*(x₀) = Σᵢλᵢ Z(xᵢ)
2. Insesgo: Como la media es desconocida, se impone una condición adicional para asegurar el insesgo: la suma de los ponderadores debe ser igual a 1 (Σᵢλᵢ = 1). Esto garantiza que E[Z*(x₀) – Z(x₀)] = 0 sin necesidad de conocer la media local.
3. Optimalidad: Se minimiza la varianza del error de estimación, sujeta a la restricción de insesgo (Σᵢλᵢ = 1). Esto se resuelve utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange (introduciendo un parámetro de Lagrange, a menudo denotado como µ o 2µ).

El sistema de ecuaciones del Kriging Ordinario incluye una ecuación y una incógnita adicionales (el multiplicador de Lagrange) en comparación con el KS. Una ventaja importante es que el sistema KO puede escribirse tanto en función de la covarianza como del variograma (reemplazando las covarianzas C por los opuestos de los valores del variograma -γ en la matriz y el vector, excepto en la fila/columna del multiplicador de Lagrange). Esto permite utilizar el KO incluso si el variograma no tiene meseta (es decir, si la varianza no es finita).

Kriging de Bloques

En muchas aplicaciones prácticas (minería, medio ambiente), se necesita estimar el valor promedio de la variable sobre un área o volumen (un bloque) en lugar de un punto. El Kriging de Bloques aborda esta necesidad.

El sistema de Kriging de Bloques se construye imponiendo las mismas restricciones de linealidad, insesgo y optimalidad que en el Kriging puntual (Simple u Ordinario). La estructura del sistema de ecuaciones es similar, pero con una modificación clave:

• El vector del lado derecho del sistema ya no contiene las covarianzas (o variogramas) entre los datos y el punto a estimar, sino las covarianzas (o variogramas) promedio entre cada dato y el bloque a estimar.
• La varianza de Kriging también se calcula utilizando covarianzas (o variogramas) promedio relacionadas con el bloque.

Calcular estas covarianzas promedio (punto-bloque y bloque-bloque para la varianza) generalmente implica discretizar el bloque en un conjunto de puntos (M puntos) y promediar las covarianzas (o variogramas) correspondientes.

Factores Considerados por los Ponderadores y la Varianza de Kriging

Tanto los ponderadores (λᵢ) como la varianza de Kriging dependen exclusivamente de:

• Aspectos Geométricos:
  • Distancias y disposición espacial entre los datos y el sitio (o bloque) a estimar.
  • Distancias y disposición espacial entre los propios datos (esto permite medir y ponderar la redundancia de la información: datos cercanos entre sí reciben menos peso combinado que datos aislados).
• Aspectos Variográficos (Modelo de Continuidad Espacial):
  • El modelo de variograma o covarianza ajustado, que describe la estructura de la continuidad espacial.
  • La dirección y magnitud de la anisotropía.
  • El efecto pepita (nugget).

Es crucial notar que los ponderadores y la varianza de Kriging solo dependen de la ubicación de los datos y del modelo estructural, no de los valores medidos en esos datos.

Limitaciones del Kriging

Una limitación inherente al Kriging (Simple y Ordinario) es que no toma en cuenta la información local proporcionada por los valores de los datos al calcular los pesos o la precisión:

• Sabiendo la configuración de los datos y el modelo de variograma, se pueden calcular los ponderadores y la varianza de Kriging sin conocer los valores reales de las muestras.
• Esto puede llevar a una menor precisión local en áreas donde la variabilidad es alta (por ejemplo, zonas de alta ley con fluctuaciones importantes), aunque el Kriging proporciona la mejor estimación lineal insesgada en promedio.

Existen variantes de Kriging más avanzadas (como el Kriging Indicador o Disyuntivo) que intentan incorporar información sobre la distribución local de valores.