Kriging: Un Método Óptimo de Interpolación

El Kriging se considera un método óptimo de interpolación por las siguientes razones:

• Insesgado: El valor esperado del error es 0.
• Varianza Mínima: Garantiza la mínima varianza de la estimación.
• Interpolador Exacto: Reproduce los valores observados en las ubicaciones de las muestras.
• Autocorrelación Espacial: Considera la autocorrelación espacial de los datos.
• Medida de Precisión: Proporciona una medida de la precisión de la estimación mediante la varianza de estimación.

Factores que Afectan la Precisión del Kriging

La precisión del Kriging depende de:

• Número de muestras: Mayor cantidad de muestras generalmente conduce a mayor precisión.
• Localización de las muestras: La distribución espacial de las muestras es crucial.
• Distancia entre muestras: Muestras más cercanas suelen tener mayor correlación.
• Calidad del modelo de variación espacial: Un buen modelo de variograma es fundamental.

Tipos de Kriging

Kriging Simple

• Trabaja conociendo la media de la variable.
• Es un interpolador insesgado.
• Trabaja conociendo la covarianza.

Kriging Ordinario

• Trabaja sin conocer la media.
• Trabaja conociendo el variograma o la covarianza.

Limitaciones de la Varianza de Kriging

La varianza de Kriging no siempre refleja adecuadamente la incertidumbre asociada a la estimación, ya que solo depende de la configuración geométrica y de la estructura espacial de la variable regionalizada. No refleja el llamado efecto proporcional. Para cuantificar medidas de riesgo o incertidumbre, se necesitan métodos alternativos al Kriging.

Simulaciones Geoestadísticas

Existen dos tipos principales de simulaciones geoestadísticas:

1. Simulación No-Condicional

• No respeta los valores de los datos.
• Replica la media, la varianza y el semivariograma de los datos.
• Ejemplo: Simulación de Monte Carlo, que se basa en la covarianza o el variograma.

2. Simulación Condicional

• Replica la media, la varianza y el semivariograma de los datos, en promedio.
• Respeta los valores de los datos en sus ubicaciones.

Simulación de Monte Carlo

Es un método no determinista o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud.

Aplicaciones de la Simulación

• Variables continuas: Medidas de propiedades físicas (grado mineral, grosor de una capa geológica o velocidad del sonido).
• Variables categóricas: Variables discretas que representan elementos de una clasificación (litofacies o indicadores de grandes unidades genéticas).
• Objetos: Representan entidades del dominio de la aplicación (fractura, canal serpenteante).

Objetivos de la Simulación Condicional

• Reproducir una distribución empírica de datos brutos.
• Reproducir la variabilidad espacial descrita por los variogramas.
• Reproducir los datos en puntos de medición.

Diferencias entre Simulación y Kriging

Estimación (Kriging)

• Proporciona en cada localidad un valor Z*(x).
• No reproduce la dispersión de los datos reales (representación suave de la realidad).
• El objetivo es reproducir las estadísticas globales.
• Depende del número de puntos muestreados y su distribución espacial.
• Bajo costo computacional.

Simulación

• No depende del número de puntos y su distribución espacial.
• Alto costo computacional.

¿Cuándo es Importante Generar Simulaciones?

• Problemas de estimación.
• Medición de incertidumbre.
• Análisis de riesgo.

Tipos de Simulación

Simulación Gaussiana

Requiere algoritmos como:

• Descomposición secuencial.
• Matricial (LU).

Simulación Secuencial

• Consiste en reproducir las propiedades espaciales deseadas mediante el uso secuencial de distribuciones condicionales.
• El principio básico se basa en la aplicación de la regla de Bayes en pasos secuenciales sucesivos.

Simulación Secuencial Discreta

• Basado en el muestreo de la distribución global condicionada por la medida condicional local y la varianza.
• Asegura la reproducción de la distribución marginal.
• Respeta los valores de los datos en sus propias ubicaciones.

Simulación Secuencial Gaussiana

• Se generan realizaciones de los valores en una malla densa con valor simulado condicionado a los datos reales y a los valores simulados previamente.
• El condicionamiento se realiza por Kriging multigaussiano, que se refiere a Kriging simple con media 0.
• La Anamorfosis Gaussiana transforma la variable original en una variable con distribución marginal gaussiana estándar.
• Esta transformación es marginal.
• Luego de la anamorfosis, se trabaja directamente con la variable multigaussiana.

Simulación LU

• Solo necesita realizarse una vez.
• Es una operación muy costosa.
• Es el equivalente al algoritmo secuencial de simulación gaussiana con Kriging simple y con una vecindad de búsqueda de datos infinita.
• Es muy lenta cuando la cantidad de sitios a simular es grande (>1000).

Cokriging

• Utiliza datos definidos en diferentes atributos.
• Debe haber una correlación espacial entre la variable primaria y la secundaria.
• Existen tres variantes:

• Cokriging simple (SCK)
• Cokriging ordinario (OCK)
• Cokriging con un modelo de tendencia (CKT)

Semivariograma Estimado

Método de Corregionalización Lineal

Es la metodología más utilizada.

Análisis Estructural Multivariado

• Modelar cada semivariograma simple y semivariograma cruzado de forma individual.
• Determinar el número de estructuras anidadas de manera que sea mínimo (máximo 3).
• Comprobar que todos los determinantes de los menores de orden dos son no negativos.
• Verificar que todas las matrices de corregionalización sean positivas semidefinidas, en caso contrario hacer los cambios necesarios hasta satisfacer la condición o volver al paso 2. Una matriz es positiva semidefinida si, para cualquier vector b,

Cokriging Ordinario

Aspectos Prácticos del Cokriging

• Requiere contar con un número relativamente elevado de muestras donde estén medidas todas las variables para una adecuada estimación de los semivariogramas cruzados.
• Es mayor la complejidad y el tamaño de los sistemas de ecuaciones a resolver.
• Requiere más tiempo de cálculo en la modelación de los semivariogramas cruzados mediante la modelación y validación de múltiples semivariogramas.

Cokriging Colocado

• Es un caso particular del Cokriging.
• La variable de interés es conocida en pocos puntos, mientras que la variable auxiliar o secundaria es conocida en todos los puntos de la malla de estimación.
• La vecindad de la variable auxiliar se reduce al punto de estimación.
• Es computacionalmente más simple y eficiente comparado con el Cokriging.