Métodos Numéricos y Ecuaciones Diferenciales en Ingeniería Electrónica

Métodos Numéricos para la Resolución de Ecuaciones

Métodos de Búsqueda de Raíces

Método de Bisección
Método de la Secante: x_n = x_n-1 – f(x_n-1)(x_n-1 – x_n-2) / (f(x_n-1) – f(x_n-2))
Método de Newton-Raphson: x_n = x_n-1 – f(x_n-1) / f'(x_n-1)

Métodos de Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Eliminación Gaussiana: A = LU
Método de Jacobi: Para un sistema Ax = b, se despeja cada x_i en función del resto de variables. Se asigna un valor inicial a cada variable y se itera en las igualdades obtenidas.
Método de Gauss-Seidel: Similar al método de Jacobi, pero los valores ya obtenidos se utilizan en la misma iteración.

Interpolación

Polinomio Interpolante de Lagrange: p_n(x) = Σ_(j=0)ⁿ f(x_j) Π_{(i=0, i≠j)}ⁿ (x – x_i) / (x_j – x_i)
Forma de Newton (Tabla de Diferencias Divididas): f[a, b] = (f[a] – f[b]) / (a – b)
Interpolación de Hermite: f[a, a] = f'(a)
Interpolante Lineal a Trozos: L(x) = y_i – (x – x_i)(y_i+1 – y_i) / (x_i+1 – x_i)
Splines Cúbicos:
- Sujeto: Con la matriz Fila 1 = [1, 0, 0, …], Fila n [h_n-1, 2(h_n-1 + h_n), h_n-1], Fila final […, 0, 0, 1] y el vector d cuyos valores son las derivadas, el resultado es [A, …, 3h_n-1Δ_n-2 + 3h_n-2Δ_n-1, …, B), donde A = 6(f(x₁) – f(x₀)) / h₀² – (4d₀ + 2d₁) / h₀, B = 6(f(x_n-1) – f(x_n)) / h_n-1² + (4d_n + 2d_n-1) / h_n-1 y n es la «fila» del término más 1 (fila 1, n=0).
- Natural: Con la matriz Fila 1 = [-4h₀, -2h₀, 0, …], Fila n [h_n, 2(h_n + h_n-1), h_n-1], Fila Final [2h_n-1, 4h_n-1], el resultado es [-6h₀Δ₀ + h₀²A, …, 3h_n-1Δ_n-2 + 3h_n-2Δ_n-1, …, 6h_n-1Δ_n-1 + h_n-1²B] y Δ_i = (f(x_i+1) – f(x_i)) / h_i.

Cuadratura Numérica

Regla del Rectángulo (grado de precisión 0): I_Rec(f) = f(a)(b – a)
Regla del Punto Medio (grado de precisión 0): I_Pm(f) = f((a + b) / 2)(b – a)
Regla del Trapecio (grado de precisión 1): I_Tr(f) = ((f(a) + f(b)) / 2)(b – a)
Regla de Simpson (grado de precisión 3): I_Si(f) = ((b – a) / 6)(f(a) + 4f((a + b) / 2) + f(b))
Regla del Trapecio Mejorada (grado de precisión 3): I_Tm(f) = ((f(a) + f(b)) / 2)(b – a) – ((f'(b) – f'(a)) / 12)(b – a)²

Errores en las Reglas de Cuadratura

E_Rec(f) = f'(η)(b – a)² / 2
E_Pm(f) = (f»(η) / 24)(b – a)³
E_Tr(f) = -f»(η)(b – a)³ / 12
E_Si(f) = (-f^iv)(η) / 90)((b – a) / 2)⁵

Reglas Compuestas (h constante entre nodos)

Regla del Trapecio Compuesta: I_Tr^C(f) = (h / 2)(f₀ + f_N) + hΣ_i=1^N-1 f_i
Error de la Regla del Trapecio Compuesta: E_Tr^C(f) = (-f»(ε) / 12)(b – a)h²

Obtención de Fórmulas de Cuadratura por el Método Directo

Para obtener una fórmula interpolatoria mediante el método directo, se sigue el siguiente procedimiento:

Se plantea la integral I(f) = ∫_a^b f(x)dx ≈ I_*(f).
Se comprueba, desde N = 0, si el grado de precisión (GP) es mayor o igual a N, utilizando f(x) = x^N.
Se igualan I(f) e I_*(f) y se despejan las variables de las igualdades.
Se continúa comprobando para determinar el grado de precisión de la fórmula.

Traslación de una Fórmula de Cuadratura a un Intervalo Genérico

Para trasladar una fórmula de cuadratura obtenida a un intervalo genérico [c, d], se realizan los siguientes pasos:

Se plantea la integral ∫_c^d g(t)dt.
Se realiza el cambio de variable t = c + ((d – c) / (b – a))(x – a), y se despeja x.
Se calcula dt = ((d – c) / (b – a))dx.
Se sustituyen t y dt en ∫_c^d g(t)dt, quedando la integral entre a y b.
El nuevo g(t) ahora está en función de x, g(h(x)) = f(x).
Con la fórmula interpolatoria hallada anteriormente, se sustituye cada f por el g correspondiente.

Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)

Método de Euler

Dado el problema de valor inicial y’ = f(t, y), a ≤ t ≤ b, y(a) = c, se elige un N y se calcula h = (b – a) / N. Entonces:

y₀ = y(a) = c
y_i+1 = y_i + hf(t_i, y_i)

Convergencia de Errores en el Método de Euler

|e_i| ≤ e^L(b-a)M(b-a)h, donde M = max|y»(t)| y L = max|∂f(t, y) / ∂y|.

Métodos de Runge-Kutta de 2 Etapas

k₁ = f(t_i, y_i)

k₂ = f(t_i + c₂h, y_i + hb₂₁k₁)

y_i+1 = y_i + h(a₁k₁ + a₂k₂)

donde a₁ + a₂ = 1, a₂c₂ = 1/2, c₂ = b₂₁

Método de Euler Modificado: a₁ = 0, a₂ = 1, c₂ = 1/2
Método de Euler Mejorado: a₁ = a₂ = 1/2, c₂ = 1
Método de Heun: a₁ = 1/4, a₂ = 3/4, c₂ = 2/3

Método de Runge-Kutta de 4 Etapas

k₁ = f(t_i, y_i)

k₂ = f(t_i + (h/2), y_i + (h/2)k₁)

k₃ = f(t_i + (h/2), y_i + (h/2)k₂)

k₄ = f(t_i + h, y_i + hk₃)

y_i+1 = y_i + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Series de Fourier

Serie de Fourier en el Intervalo [-L, L]

f(x) ≈ ½a₀ + Σ_n=1^∞(a_ncos(nπx/L) + b_nsin(nπx/L))

a₀ = (1/L)∫_-L^L f(x)dx

a_n = (1/L)∫_-L^L f(x)cos(nπx/L)dx

b_n = (1/L)∫_-L^L f(x)sin(nπx/L)dx

La serie converge a la extensión periódica de f(x) cuando es continua, y al punto intermedio en los saltos de discontinuidad.

Derivación de la Serie de Fourier en [-L, L]

Si f es continua en [-L, L], f(-L) = f(L), y f’ es regular a trozos en [-L, L], entonces la derivada de la serie término a término es la serie de f’.

Serie de Fourier en Senos en el Intervalo [0, L]

f(x) ≈ Σ_n=1^∞ b_nsin(nπx/L)

b_n = (2/L)∫₀^L f(x)sin(nπx/L)dx

Aproxima a la extensión impar de f(x) (simetría central).

Derivación de la Serie de Fourier en Senos en [0, L]

Si f es continua en [0, L], f(0) = f(L) = 0 y f’ es regular a trozos en [0, L], entonces su derivada término a término es la serie en cosenos de f’.

Serie de Fourier en Cosenos en el Intervalo [0, L]

f(x) ≈ ½a₀ + Σ_n=1^∞ a_ncos(nπx/L)

a₀ = (2/L)∫₀^L f(x)dx

a_n = (2/L)∫₀^L f(x)cos(nπx/L)dx

Converge a la extensión par de f(x) (simetría axial).

Derivación de la Serie de Fourier en Cosenos en [0, L]

Si f es continua en [0, L] y f’ es regular a trozos en [0, L], su derivada término a término es la serie en senos de f’.

Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP)

Fórmula de D’Alembert para el Problema de Cauchy de la Cuerda Vibrante Infinita

u_tt – c²u_xx = 0, -∞ < x < ∞, t ≥ 0

u(x, 0) = f(x), -∞ < x < ∞

u_t(x, 0) = g(x), -∞ < x < ∞

u(x, t) = p(x + ct) + q(x – ct)

Se calculan u_t(x, 0) y u(x, 0) y se despejan p(x) y q(x).

Solución final: u(x, t) = ½f(x + ct) + ½f(x – ct) + (1/(2c))∫_x-ct^x+ct g(s)ds

EDO de Orden 2 con Coeficientes Constantes Homogénea

y» + py’ + qy = 0

Ecuación característica: z² + pz + q = 0

y(x) = e^ax(c₁cos(bx) + c₂sin(bx))

Problema de Sturm-Liouville

y» + λy = 0

Para λ < 0: y = c₁e^x√λ + c₂e^-x√λ
Para λ = 0: y = c₁ + c₂x
Para λ > 0: y = c₁cos(x√λ) + c₂sin(x√λ)

Condiciones de Dirichlet en la Frontera (a < x < b)

y(a) = 0, y(b) = 0

λ_n = (nπ/L)², y_n(x) = b_nsin(nπx/L)

Condiciones de Neumann

y'(a) = c, y'(b) = d

Para c = d = 0:

Para λ < 0: y = 0
Para λ = 0: y = c₁
Para λ > 0: λ_n = (nπ/L)², y_n(x) = a_ncos(nπx/L), n = 0, 1, 2, …

Condiciones Periódicas

y(-T) = y(T), y'(-T) = y'(T)

λ < 0: no hay solución
λ = 0: no hay solución
λ > 0: λ_n = (nπ/L)², y_n(x) = a_ncos(nπx/L) + b_nsin(nπx/L), n = 1, 2, …

Separación de Variables

Verificar que la EDP y las condiciones de frontera (CF) sean lineales y homogéneas.
Buscar una solución en la forma u(x, t) = X(x)T(t), obteniendo dos problemas de EDO.
Resolver la EDO1 con las CF.
Resolver la EDO2 para cada λ_n.
Usar el principio de superposición de soluciones (poner el sumatorio y unir X y T).
Imponer las condiciones iniciales (obtención de constantes, usar series de Fourier).

Problema de Conducción de Calor en una Barra con Temperatura 0 en los Extremos

EDP: u_t = ku_xx, 0 < x < L, t > 0

CF: u(0, t) = 0, u(L, t) = 0

CI: u(x, 0) = f(x)

Conducción de Calor en una Varilla con Extremos Aislados