Características Principales del Variograma

El variograma es una herramienta fundamental en geoestadística para cuantificar la correlación espacial de una variable regionalizada. Sus características más importantes son:

• Crecimiento: Indica la velocidad a la que la variable pierde correlación espacial. Un crecimiento rápido implica una menor continuidad espacial.
• Alcance: En una dirección dada, el alcance es la distancia a la cual el variograma se estabiliza. Representa la «zona de influencia» de un dato.
• Comportamiento cerca del origen: Refleja la regularidad de la variable a pequeña escala. Un comportamiento más suave indica mayor regularidad.
• Anisotropía: El cálculo del variograma en varias direcciones puede revelar anisotropía, es decir, direcciones preferenciales de continuidad espacial.

Propiedades de un Modelo de Variograma

Un modelo de variograma válido debe satisfacer ciertas restricciones matemáticas:

• Función positiva, par y nula en el origen.
• De tipo negativo condicional.
• La suma de varios variogramas es un variograma. El producto, no necesariamente.
• Y(h) es un variograma si y solo si exp(-ty(h)) es una función de covarianza (función de tipo positivo) para todo t > 0.
• Para distancias muy grandes, un variograma crece menos rápidamente que una parábola.
• Existen representaciones espectrales.
• Consistencia en ciertos tipos de funciones aleatorias.

Características Esenciales de un Variograma

• Comportamiento en el origen: Puede ser derivable (suave), lineal (continuo) o discontinuo (efecto pepita, errático). Mientras más regular es el variograma en el origen, más regular es la variable.
• Comportamiento a grandes distancias: Frecuentemente, el variograma se estabiliza en una meseta (sill) a medida que la distancia crece.
• Comportamiento direccional: El análisis de variogramas direccionales o mapas variográficos permite identificar anisotropías.
• Periodicidades: Más comunes en fenómenos temporales que espaciales.
• Efecto de hoyo: El variograma no es monótono.

Limitaciones del Variograma

El variograma solo proporciona una caracterización parcial de la función aleatoria. No describe, por ejemplo, la conectividad espacial de los valores.

Modelos Elementales de Variogramas

• Efecto Pepita:

  Representa una ausencia de correlación espacial.

• Modelo Esférico:

  Alcance = a, Meseta = C.

• Modelo Exponencial:

  El parámetro ‘a’ es el alcance práctico, la distancia para la cual el variograma alcanza el 95% de su meseta C.

• Modelo Gaussiano:

  Alcance práctico = a, Meseta = C.

• Modelo Potencia:

  No posee alcance ni meseta. El exponente θ varía entre 0 (pepítico) y 2 (parabólico).

• Modelo Seno Cardinal:

  Alcance práctico = 20.4a, Semiperíodo = 4.5a, Meseta = C.

Otros modelos: Cúbico, Circular, Pentaesférico, Seno Exponencial. Existen también modelos que dependen de un parámetro ‘b’: Estable, Gamma, Bessel-J, Bessel-K, Cauchy Generalizado.

Modelos Anidados

Los variogramas anidados permiten modelar cambios de pendiente en los variogramas direccionales y explicar, en parte, el efecto pepita.

Causas del Efecto Pepita

• Soporte de la medición demasiado bajo (la amplitud del efecto pepita es inversamente proporcional al volumen de la muestra).
• Errores de medición.
• Errores en la ubicación de los datos.
• Muestreo preferencial en zonas de mayor variabilidad.

Isotropía y Anisotropía

Un variograma es isótropo si es idéntico en todas las direcciones. La anisotropía indica que la variable tiene direcciones preferenciales de continuidad. Se puede identificar con el mapa variográfico (anisotropía geométrica o zonal).

Método de Máxima Verosimilitud

Permite ajustar un modelo de variograma sin calcular un variograma experimental. Aplicable cuando la media es desconocida o no constante. Es sensible a la hipótesis de que la función aleatoria sea gaussiana.

Modelamiento Direccional

Se buscan anisotropías sencillas, con 2 o 3 direcciones principales ortogonales. Se busca la elipse o elipsoide que mejor se ajuste al mapa variográfico. Se calculan variogramas experimentales a lo largo de las direcciones principales y se complementa con otras direcciones o un variograma omnidireccional.

Modelamiento para Distancias Grandes

El variograma experimental es poco confiable para distancias mayores a la mitad del diámetro del campo. Las fluctuaciones pueden ser considerables. La meseta del variograma (varianza teórica) puede diferir de la varianza del histograma (varianza empírica).

Modelamiento para Distancias Pequeñas

El comportamiento del modelo a pequeñas distancias es crucial, ya que describe la continuidad a pequeña escala y es fundamental para la interpolación. Comportamientos muy regulares son poco comunes; generalmente, se observa un variograma lineal en el origen o con efecto pepita.

Validación Cruzada

La validación cruzada es una técnica para:

• Validar el modelamiento teórico del variograma.
• Comparar la calidad de varios modelos.
• Validar los parámetros de kriging.

Se estima sucesivamente cada dato por kriging, considerando solo los datos restantes. Se calcula el error de estimación y se analiza su calidad mediante herramientas estadísticas y gráficas (errores estandarizados).

Factores para la Validación del Modelo

• Media de los errores y errores estandarizados: Cercanos a cero (estimador insesgado).
• Varianza de los errores: Lo más pequeña posible (estimador preciso).
• Varianza de los errores estandarizados: Cercana a 1 (el variograma cuantifica adecuadamente la incertidumbre).
• Nube de dispersión entre valores reales y estimados: La regresión debe acercarse a la diagonal (insesgo condicional).

Sesgo Condicional

El sesgo condicional implica:

• Centro de gravedad sobre la diagonal: la ley media estimada es menor que la ley verdadera.
• Centro de gravedad en la diagonal: la ley media estimada es igual a la ley media verdadera.
• Centro de gravedad bajo la diagonal: la ley media estimada es mayor que la ley verdadera.

Propiedades del Variograma Experimental

Es un estimador insesgado del variograma teórico, pero poco robusto, especialmente cuando:

• El número de datos es pequeño.
• La distancia |h| es grande.
• La malla de muestreo es irregular o preferencial.
• La distribución de los valores es asimétrica o presenta valores extremos.

Construcción del Kriging

El kriging se basa en tres restricciones:

• Linealidad: El estimador es una combinación lineal ponderada de los datos.
• Insesgo: El error cometido debe tener una esperanza nula.
• Optimalidad: Se minimiza la varianza del error.

Datos a Utilizar en la Estimación de Kriging

La vecindad única (todos los datos) es ineficiente. Se prefiere una vecindad móvil, especificando su forma y tamaño. La vecindad es la zona alrededor del punto a estimar donde se buscan los datos.

Forma, División y Tamaño de la Vecindad Móvil

• Forma: Idealmente, la forma de las curvas de isovalores del mapa variográfico (generalmente elipse o elipsoide).
• División: Se recomienda dividir la vecindad en sectores angulares.
• Tamaño: Considerar el alcance del variograma y la malla de muestreo. Un mayor tamaño mejora la precisión y reduce el sesgo condicional, pero un menor tamaño es preferible si hay cambios en la continuidad espacial, irrelevancia de datos lejanos, poca confiabilidad del variograma a grandes distancias, o para reducir el tiempo de cálculo.

Interés del Kriging

El sistema de kriging considera la información geométrica (distancia) y variográfica (continuidad, anisotropía). No toma en cuenta la información local de los valores de los datos. Presenta las siguientes propiedades:

• Insesgo: La media de los errores es cercana a cero.
• Interpolación exacta: Estimar un punto con datos devuelve el valor medido.
• Aditividad: El kriging del valor promedio de un sector es el promedio de las estimaciones puntuales.
• Suavizamiento (aislamiento): La dispersión de los valores estimados es menor que la de los valores verdaderos. Tiende a subestimar valores altos y sobreestimar valores bajos.

Kriging Simple

• Se conoce la media de la variable.
• Se conoce el variograma (meseta).
• Existe una función de covarianza.

Kriging Ordinario

• Se desconoce la media de la variable.
• Se conoce el variograma (puede o no tener meseta).
• Es el estimador más robusto.