Modelos Matemáticos

Un modelo matemático es una representación simplificada, a través de ecuaciones, funciones o fórmulas matemáticas, de la relación entre dos o más variables. Los modelos matemáticos son utilizados para analizar la relación entre dos o más variables.

Elementos básicos de un modelo matemático:

• Variables: Son los conceptos u objetos que se busca entender o analizar, sobre todo, con respecto a su relación con otras variables.
• Parámetros: Se trata de valores conocidos o controlables del modelo.
• Restricciones: Son determinados límites que nos indican que los resultados del análisis son razonables.
• Relaciones entre las variables: El modelo establece una determinada relación entre las variables apoyándose en teorías.
• Representaciones simplificadas: Una de las características esenciales de un modelo matemático es la representación de las relaciones entre las variables estudiadas a través de elementos de las matemáticas.

Propiedades deseadas de un modelo matemático:

• Simplicidad: Uno de los objetivos principales de un modelo matemático es simplificar la realidad para poder entenderla mejor.
• Objetividad: Que no tenga sesgos, ni teóricos ni de los prejuicios o ideas de sus diseñadores.
• Sensibilidad: Que sea capaz de reflejar los efectos de pequeñas variaciones.
• Estabilidad: Que el modelo matemático no se altere significativamente cuando hay cambios pequeños en las variables.
• Universalidad: Que sea aplicable a varios contextos y no sólo a un caso particular.

Tipos de modelos matemáticos

Modelos Continuos: Son aquellos en los que las variables de estado cambian de forma continua con el paso del tiempo.

Modelos Discretos: Son aquellos en los que las variables de estado cambian instantáneamente en instantes separados de tiempo.

Error Absoluto, Error Relativo y Cota de Error

Error absoluto: El error absoluto de una medida es la diferencia entre el valor real (X̄) y el valor que se ha obtenido en la medición (Xi). El error absoluto puede ser un valor positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior y además tiene las mismas unidades que las de la medida.

Error relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. No tiene unidades y puede expresarse también en forma de porcentaje.

Cota de error: Es la longitud del intervalo, en torno al valor aproximado, en el que puede encontrarse el valor exacto. Esta medida se usa cuando no se conoce el valor exacto.

Algoritmos y Raíces de Ecuaciones

Algoritmo: Un algoritmo es un conjunto de instrucciones o reglas definidas y no ambiguas, ordenadas y finitas que permite solucionar un problema.

Raíces de ecuaciones: La raíz de una ecuación es aquel valor de la variable independiente que hace que el resultado de la ecuación sea cero o por lo menos se acerque a cero con un cierto grado de aproximación deseado.

Métodos Cerrados

Se les llama Métodos cerrados a todos aquellos que requieren de un intervalo de valores de la variable independiente [a, b] para una función f(x) que posee raíces reales. Ejemplo: método de la regla.

Método de la regla: También conocido como método de la bisección, es un método numérico para encontrar las raíces de una función continua en un intervalo [a, b], donde la función cambia de signo en los extremos a y b. Este método se clasifica como un método cerrado debido a que no es necesario conocer un punto inicial cercano a la solución.

Métodos Abiertos

Los Métodos abiertos se basan en fórmulas que requieren únicamente de un solo valor de inicio, o un par de ellos, pero que no necesariamente deben encerrar a la raíz. Hay casos en los que su funcionamiento no es el mejor, especialmente para obtener raíces múltiples. Ejemplo: método de Newton-Raphson.

Método de Newton-Raphson: Se basa en la idea de aproximar una raíz de la función mediante una recta tangente a la curva de la función en un punto inicial. El método se repite iterativamente, utilizando la intersección de la recta tangente con el eje x como una nueva estimación de la raíz.

La fórmula iterativa para este método es: Xn+1 = Xn – f(Xn) / f'(Xn)

Método de Euler y Método de Euler Modificado

El Método de Euler es un método numérico utilizado para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Este método es especialmente útil cuando no es posible obtener soluciones analíticas exactas y se requiere una aproximación numérica. La idea básica detrás del Método de Euler es discretizar la variable independiente (por lo general, el tiempo) y aproximar la derivada de la función con una diferencia finita. Al aplicar el método de Euler pueden aparecer dos errores:

• Errores de truncamiento: Originado por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.
• Errores de redondeo: Causados por el número limitado de cifras significativas que una computadora puede retener.

El método de Euler modificado consiste en tomar las fórmulas del método de Euler para calcular la pendiente en un punto inicial y en un punto final y luego promediarlas. De esta manera el resultado será mucho más acertado a lo largo de todo el intervalo.

Interpolación Polinómica

Un polinomio de interpolación es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo hay que encontrar un polinomio que pase por todos los puntos. Es aplicable para la resolución de problemas de diferenciación, en general y para el cálculo de derivadas en particular.

Los diferentes métodos de interpolación desarrollados pueden dividirse en dos tipos fundamentales:

• Métodos globales: Utilizan toda la muestra para estimar el valor en cada nuevo punto.
• Métodos locales: Utilizan solo los puntos de muestreo más cercanos.

Método de Newton-Gregory

Es una técnica para la interpolación polinómica de datos. Se utiliza para construir polinomios que pasan a través de un conjunto dado de puntos. Los métodos de interpolación de Newton-Gregory se dividen en dos categorías principales: métodos ascendentes y métodos descendentes.

• Método de Newton-Gregory Ascendente: El polinomio interpolante ascendente de Newton-Gregory se puede expresar en la forma de diferencias divididas hacia adelante.
• Método de Newton-Gregory Descendente: El polinomio interpolante descendente de Newton-Gregory se expresa en términos de diferencias divididas hacia atrás.

Derivación Numérica

En la derivación numérica se trata de evaluar numéricamente a la derivada de una función f(x) a partir de valores numéricos de dicha función. Geométricamente se pueden considerar tres variantes:

• Fórmula avanzada: Se toma el punto x donde queremos calcular la derivada y un punto más adelantado: [f(x + h) – f(x)] / h
• Fórmula atrasada: Se toma el punto x donde queremos calcular la derivada y un punto más atrasado: [f(x) – f(x – h)] / h
• Fórmula centrada: [f(x + h) – f(x – h)] / 2h. Esta fórmula utiliza la recta secante entre x – h y x + h, dividiendo la diferencia entre las alturas de las dos rectas secantes por la distancia entre los puntos.