1. Concepto de Momento Lineal o Cantidad de Movimiento

Previamente hay que definir la masa. De manera operacional, la masa es una magnitud escalar que viene dada por un número y la unidad correspondiente y que se obtiene con una balanza de brazos iguales, por comparación con una masa patrón. Supondremos que la masa, o está en reposo, o se mueve con velocidades convencionales, alejadas de la velocidad de la luz.

Se define el momento lineal como el producto de la masa por su velocidad:

Se trata de una magnitud vectorial de la misma dirección y sentido que la velocidad y cuya unidad es kg m/s.

Proporciona más información que la masa o la velocidad, ya que combina estos dos parámetros que caracterizan el estado dinámico de una partícula. La 1ª ley de Newton puede expresarse ahora diciendo: una partícula libre tiene momento lineal constante.

1.1. Principio de Conservación del Momento Lineal

Supongamos una situación particular en que dos partículas, de masas m₁ y m₂, independientes de la velocidad, están sometidas, exclusivamente, a su mutua interacción, es decir, constituyen un sistema aislado; las trayectorias son curvilíneas y las partículas modifican su velocidad como consecuencia de la interacción.

Al cabo de un tiempo, la partícula que se encuentra en P₁ pasa a P₁‘ y la que se encuentra, inicialmente, en P₂ pasa al punto P₂‘. El momento lineal cuando las partículas se encuentran en «P₁» y «P₂» es:

Cuando se encuentran en P₁‘ y P₂‘, tendremos:

El resultado es que, independientemente del instante que consideremos, se cumple que p = p’ = cte.

Un sistema de dos partículas, sometidas solo a su mutua interacción, presenta un momento lineal constante. Este principio de conservación del momento lineal puede generalizarse para un sistema de partículas: el momento lineal de un sistema aislado de partículas es constante. No se han encontrado en el universo excepciones a este principio y cuando lo parecía, se ha descubierto con posterioridad alguna nueva partícula que lo restauraba; así se descubrió, por ejemplo, el neutrón y el neutrino.

Por tanto, si en un sistema aislado de dos partículas, una de ellas gana momento lineal, la otra debe perderlo en la misma proporción; por lo tanto, una interacción produce un cambio de momento lineal. La generalización para un sistema aislado permite escribir:

Obviamente, si tenemos una partícula aislada, libre, p = cte, lo que implica que la velocidad v = cte, que representa otra forma de expresar la ley de inercia. Uno de los múltiples ejemplos cotidianos que ponen de manifiesto este principio es el de una granada o proyectil, que estalla en el aire; el momento lineal, antes de estallar, coincide con el de todos los fragmentos, inmediatamente después de estallar.

2. Momento Angular de una Partícula

El movimiento rectilíneo de un cuerpo viene caracterizado por su momento lineal o cantidad de movimiento, p = m·v, pero en el caso de movimientos curvilíneos, el vector p cambia continuamente de dirección y sentido, por lo que el estado de movimiento queda caracterizado por una nueva magnitud que se llama momento angular o momento cinético, L.

El momento angular de una partícula con respecto a un punto O es el producto vectorial de su vector de posición r con respecto a dicho punto, por su momento lineal p = m·v.

L = r x p, que también puede reescribirse como L = mr x v

El momento angular se mide en el SI en kg m² s^-1. El momento angular, L, es una magnitud vectorial perpendicular a r y a v. Su módulo es L = m·r·v·sen θ, donde «θ» es el ángulo que forman r y v. Si la órbita es plana, la dirección de L es perpendicular a la misma y si no cambia el sentido del movimiento, tampoco lo hará el de L. En el caso del movimiento circular, el vector r tiene la dirección del radio y p = m·v es tangente a la circunferencia en cada punto, luego L = r·mv; si el movimiento es circular uniforme, el módulo del momento angular, L, es constante, porque lo son el radio vector, la masa y la velocidad. Cuando r y v sean paralelos, el momento angular será nulo. El momento angular caracteriza el movimiento de rotación de la partícula.

Variación del Momento Angular

Vamos a obtener la derivada del momento angular con respecto al tiempo.

El teorema del momento angular dice: la variación del momento angular con respecto al tiempo es igual al momento total de las fuerzas exteriores. Como los vectores v y p son paralelos, su producto vectorial es nulo. Se ha definido el momento M de la fuerza, con respecto al mismo punto O, como el producto vectorial de r y F. Este resultado es fundamental para el estudio de las rotaciones; su significado físico es que el momento de la fuerza tiende a cambiar la dirección del movimiento.

Teorema de Conservación del Momento Angular

Si el momento de la fuerza que actúa sobre la partícula es nulo, el momento angular se conserva.

Esto ocurre cuando la fuerza neta es cero o cuando la fuerza F es paralela a r, como ocurre en el caso de las fuerzas centrales; la fuerza gravitatoria y la electrostática son centrales.

3. Principio de Conservación de la Energía

3.1. Fuerzas Conservativas

Haremos el tratamiento para una sola partícula. En el caso general, independientemente de la forma funcional de la fuerza y de la trayectoria seguida por la partícula, el trabajo elemental viene dado por dW = F·dr = F·ds, donde F es la fuerza conservativa y ds el desplazamiento elemental; para el trabajo total podemos escribir:

Por otra parte, debemos recordar que una fuerza es conservativa si el trabajo realizado por ella se puede expresar como la diferencia entre los valores de una magnitud, que llamamos energía potencial, entre los valores inicial y final; la energía potencial es función de la posición de las partículas o, lo que es lo mismo, de sus coordenadas.

Si sobre la partícula actúa una fuerza conservativa, debe cumplirse:

3.2. Fuerzas No Conservativas

Como ejemplo más socorrido de fuerzas no conservativas, tenemos las fuerzas de fricción que, como sabemos, se oponen siempre al movimiento. El trabajo de las fuerzas no conservativas depende de la trayectoria y de la velocidad, pero no de la posición; obviamente, si la trayectoria es cerrada, el trabajo no será nulo. Si analizamos el caso de una partícula que cae en el seno de un fluido, estará sometida a una fuerza gravitatoria, conservativa, y a otra de fricción, no conservativa. Podemos escribir:

De la ecuación anterior se deduce que la suma de las energías cinética y potencial no es constante y puede aumentar o disminuir, según que el trabajo de las fuerzas no conservativas sea positivo o negativo. En estos casos, no debe llamarse energía total a la suma de E_c + E_p, ya que no incluye a todas las fuerzas actuantes; el concepto de energía total de una partícula tiene sentido solo en el caso de que todas las fuerzas sean conservativas. El trabajo de las fuerzas no conservativas debe entenderse como una transferencia de energía a nivel molecular, por lo que resulta, en general, irreversible.