MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO: MOVIMIENTO OSCILATORIO O VIBRATORIO

Decimos que una partícula realiza un movimiento oscilatorio cuando vibra u oscila alrededor de una posición de equilibrio. Dos ejemplos característicos de este tipo de movimiento son:

• El de una partícula unida a un resorte colgado verticalmente que aplicamos una fuerza para separarla de su posición de equilibrio.
• El de una partícula unida a un hilo inextensible que está suspendido verticalmente y que separamos de su posición de equilibrio.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Es un movimiento oscilatorio periódico de trayectoria rectilínea, cuya aceleración es proporcional y de signo contrario a la posición y que se describe mediante una función armónica del tipo seno o coseno. La ecuación del movimiento armónico simple viene dada por:

Las magnitudes características de este movimiento son:

Magnitudes Características

• Elongación (x): Es la distancia del cuerpo a la posición de equilibrio. Esta distancia depende del tiempo.
• Amplitud (A): Es la elongación máxima que experimenta el cuerpo, esto es, la máxima distancia a la posición de equilibrio que el cuerpo alcanza.
• Periodo (T): Es el tiempo que tarda el cuerpo en realizar una oscilación completa.
• Frecuencia (f): Es el número de oscilaciones que realiza el cuerpo en un segundo. Se mide en hercios (1 hercio es una oscilación en un segundo). La frecuencia es la inversa del periodo (f = 1/T).
• Pulsación o frecuencia angular (ω): Es el número de periodos comprendidos en 2π segundos. Su unidad en el SI es el rad/s y está relacionada con el periodo y la frecuencia por ω = 2π·f = 2π/T.
• Fase (ϕ): Es el ángulo que determina el estado de vibración del cuerpo. Se mide en radianes. El valor de la fase en el estado inicial, esto es, cuando t = 0 se denomina fase inicial ϕ₀.

MAGNITUDES CINEMÁTICAS DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Las magnitudes cinemáticas del movimiento armónico simple son la posición, la velocidad y la aceleración.

Posición

Viene dada por la coordenada x que coincide con la elongación. Su valor cambia con el tiempo y en cada instante es:

x(t) = A · sen(ω·t + ϕ₀) o x(t) = A · cos(ω·t + ϕ’₀)

La posición del cuerpo oscila entre +A y –A y se mide en metros.

Velocidad

Mide la variación instantánea de la posición con el tiempo. Su valor absoluto mide la rapidez con que se mueve el cuerpo y el signo nos da el sentido del movimiento. Derivando la posición respecto al tiempo obtenemos la expresión de la velocidad:

v(t) = A · ω · cos(ω·t + ϕ₀)

La velocidad oscila entre +A·ω y – A·ω. La relación entre v y x es:

v = ± ω · √(A² − x²)

Hay que tener en cuenta que a cada posición le corresponden dos valores de la velocidad, una de ida y otra de vuelta, así que cuando la elongación es la amplitud (puntos más alejados del equilibrio) la velocidad es nula y cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio la velocidad es máxima.

Aceleración

Mide la variación instantánea de la velocidad con el tiempo. Su expresión se obtiene derivando la velocidad respecto al tiempo:

a(t) = − A · ω · sen(ω·t + ϕ₀) o a(t) = − A · ω · cos(ω·t + ϕ’₀)

La aceleración varía entre +A·ω² y – A·ω². La relación entre a y x es:

a = − ω² · x

OSCILADOR ARMÓNICO

Un oscilador armónico es todo cuerpo material que realiza un movimiento armónico simple sometido a una fuerza proporcional al desplazamiento:

F = m· a = m · ( −ω² · x ) = − k· x , siendo k la constante elástica de valor k = m · ω²

ENERGÍA CINÉTICA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO

Un oscilador armónico tiene energía cinética por estar en movimiento. Esta energía cinética depende de la elongación de tal manera que la energía cinética es nula en los extremos del movimiento (cuando la partícula está en +A o –A) y máxima cuando la partícula está en la posición de equilibrio.

ENERGÍA POTENCIAL DE UN OSCILADOR ARMÓNICO

Un oscilador armónico tiene energía potencial porque la fuerza recuperadora que le obliga a oscilar armónicamente es una fuerza conservativa ( F = − k· x ). El trabajo realizado por esta fuerza recuperadora se emplea en variar la energía potencial del oscilador. Considerando el valor cero de energía potencial cuando el cuerpo está en la posición de equilibrio, la expresión de la energía potencial será:

E_p = ½ · k · x²

Esta energía potencial del oscilador armónico varía periódicamente con la posición del oscilador y es proporcional al cuadrado de la elongación. Así la energía potencial será siempre positiva y máxima en los extremos del movimiento (+A y – A) siendo nula en la posición de equilibrio (x = 0).

ENERGÍA MECÁNICA DE UN OSCILADOR ARMÓNICO

La energía mecánica de un oscilador armónico es la suma de sus energías cinética y potencial. Como se observa en la expresión de la energía mecánica esta es constante en cualquier instante y posición (la fuerza que actúa sobre el oscilador es conservativa). Su valor es proporcional al cuadrado de la frecuencia y al cuadrado de la amplitud de las oscilaciones.