1. Números Reales

Daremos por supuesto ciertas propiedades básicas de los números reales, que están grabadas en la consciencia de cualquier persona educada desde la niñez (a, b y c representan números reales arbitrarios). Supondremos conocida la suma de dos números reales a, b, escrito a + b, y su producto ab. Las propiedades básicas a que nos referimos son las siguientes.

1.1. Propiedades de la Suma

1. Asociativa de la suma: a + (b + c) = (a + b) + c
2. Existencia del cero: 0 + a = a
3. Existencia de opuestos: Para cada a ∈ R existe otro a⁰ ∈ R tal que a⁰ + a = 0
4. Conmutativa de la suma: a + b = b + a

1.2. Propiedades del Producto

1. Asociativa del producto: a(bc) = (ab)c
2. Existencia de la unidad: 1a = a
3. Conmutativa del producto: ab = ba
4. Distributiva: a(b + c) = ab + ac
5. Existencia de inversos: Para cada número real, distinto de cero, a ∈ R existe otro a⁰ ∈ R tal que a⁰a = 1

1.3. Propiedades para el Orden

Existe un subconjunto no vacío P ⊂ R, llamados números reales positivos y denotados P = R⁺, tal que:

1. Cerrado para sumas y productos: a, b ∈ P ⇒ a + b ∈ P y ab ∈ P
2. Ley de Tricotomía: Para cada a ∈ R se da una y solo una de las condiciones siguientes: a ∈ P, o bien a = 0, o bien -a ∈ P
3. Ley del supremo: Cada subconjunto no vacío A ⊆ R acotado superiormente tiene un supremo.

Definición 1. a < b o b > a para indicar que b – a ∈ R⁺. Escribimos a ≤ b o b ≥ a para indicar que b – a ∈ R⁰⁺. Para que esta relación sea de orden y podamos decir que a es menor o igual que b cuando a ≤ b, hace falta que demostrar que es una relación transitiva además de reflexiva y antisimétrica.

Lema 1. [Orden total de R]

La relación a ≤ b define un orden total en R.

Por el axioma 10, el conjunto P = R⁺ no es vacío, pero todavía no conocemos explícitamente ningún número real positivo. Para demostrar que 0 < 1, hace falta desarrollar las propiedades algebraicas que se deducen de los axiomas.

1.4. Propiedades Algebraicas

Las primeras propiedades que deduciremos son comunes a todos los grupos abelianos (4 primeros axiomas):

• El neutro de la suma es único.
• Para cada número real, su opuesto es único. Por eso al único opuesto de un entero a lo notamos -a y claramente se deduce que el opuesto del opuesto es el original: -(-a) = a.
• La ley de los signos se deduce del cálculo: ab + (-a)b = (a + (-a))b = 0b = 0. Ahora como el opuesto del entero ab es único, se tiene que -ab = (-a)b. De aquí se deduce la Ley de los signos.

Lema 2. [La unidad es positiva]

0 ≠ 1 = 1² ∈ P

Demostración: Si el cero y el uno fueran iguales a = a1 = a0 = 0 y no habría más números reales que el cero, contradiciendo la existencia de P ⊂ R.

Corolario 1.

0 < 1 y por inducción 0 < n para todo n ∈ N.

Teorema 1. [Propiedad arquimediana]

Para todo número real a ∈ R existe un natural n = 1 + ··· + 1 ∈ R tal que a < n.

Demostración: Si para todo n = 1 + ··· + 1 ∈ R se tiene n < a, entonces por el axioma 12, existe el supremo del conjunto N = {1, 2, 3,…} en R, b = supN.

Lema 3. [Equivalencias para la cancelativa del producto]

En cualquier conjunto que satisfaga los 8 primeros axiomas (anillo conmutativo y unitario), son equivalentes las siguientes tres propiedades:

1. (a ≠ 0, b ≠ 0) ⇒ ab ≠ 0.
2. ab = 0 ⇒ a = 0 o bien b = 0.
3. (ab = ac, a ≠ 0) ⇒ b = c.

Además todas esas propiedades son ciertas en R.

Demostración: Las primeras dos condiciones son equivalentes ya que son mutuamente una el contrarrecíproco de la otra. Las propiedades del orden de R son compatibles con la suma y el producto.

Teorema 2. [R es un cuerpo ordenado]

Para a, b, c ∈ R se tiene:

1. Si a < b entonces a + c < b + c.
2. Si a < b y 0 < c entonces ac < bc.

Demostración:

1. Si a < b entonces (b + c) – (a + c) = b – a que pertenece R⁺ y por definición de orden también a + c < b + c.
2. Si a < b, entonces b – a pertenece R⁺, si también 0 < c se tiene por el axioma 10, que bc – ac = (b – a)c pertenece R⁺ y por tanto, ac < bc.

Lema 4. [Otras propiedades del orden]

1. Si a < b y c < d entonces ad + bc < ac + bd.
2. Si a < b y c < 0 entonces ac > bc.
3. Si 0 < a entonces 0 < 1/a.
4. Si a y b tiene el mismo signo, entonces a < b equivale a 1/b < 1/a.

Demostración:

1. Si a < b y c < d entonces bd + ac – (ad + bc) = (b – a)(d – c) pertenece R⁺ y se tiene ad + bc < bd + ac.
2. Si a < b y c < 0, también por la ley de los signos se tiene que bc – ac = (b – a)c < 0 y por tanto, ac – bc pertenece R⁺. O sea, ac > bc.
3. Si 0 < a, como aa – 1 = 1 pertenece R⁺ entonces 0 < 1/a.
4. Si a y b tiene el mismo signo, entonces multiplicando por a^-1b^-1 pertenece R⁺ o bien por ab pertenece R⁺ y usando 2) y/o 4), se tiene que a < b equivale a 1/b < 1/a.

Como -a = (-1)a, de la propiedad 4) se deduce que a < b <==> -a > -b, y toda cota superior de un conjunto A es el opuesto de una cota inferior del conjunto B = -A = {-a ∈ R : a ∈ A} y recíprocamente.

Lema 5. [Ley del ínfimo]

Cada subconjunto no vacío, A ⊂ R, acotado inferiormente tiene un ínfimo. O sea, existe la mayor sus cotas inferiones.

Definición 2. Al número M(a, b) = a + b / 2 se le llama la media aritmética.

Lema 6.

Para todo número real ε ∈ R⁺ existe un n ∈ N tal que b – a / 2ⁿ < ε.

Definición 3. Llamamos valor absoluto de un número real a ∈ R, al siguiente número positivo o cero.

Lema 7. [Desigualdad triangular]

∀a, b ∈ R se tiene |a + b| ≤ |a| + |b|.

Corolario 2.

∀a, c ∈ R se tiene |c| – |a| ≤ |c – a|.

Demostración: Basta definir b = c – a, de donde c = a + b, aplicar la desigualdad triangular con a y b y después restar |a| en ambos miembros.