Problema de Explotación de Minas de Carbón

La compañía ABC debe determinar la operación de sus tres minas de carbón y los envíos a tres puertos, considerando costos de producción, costos fijos, contenido de ceniza y sulfuro, y capacidades de producción. Se busca satisfacer la demanda de los puertos con un máximo de 4.5% de ceniza y 3% de sulfuro en los envíos.

Las toneladas demandadas por cada puerto y los costos de transporte se muestran a continuación:

Solución

Se formula un modelo de optimización para determinar la operación de las minas y los niveles de producción que satisfagan las restricciones de demanda y calidad.

Problema de Mezcla de Carbón para una Central Turbogeneradora

Una central eléctrica busca minimizar las emisiones de dióxido de azufre y humo al quemar carbón. Se mezclan dos tipos de carbón pulverizado (C1 y C2) con diferentes niveles de contaminantes. Las normas ambientales limitan las emisiones a 2.000 partes por millón de dióxido de azufre y 20 libras por hora de humo.

Datos de consumo de carbón (por tonelada por hora):

Solución

Se determina la relación óptima de mezcla de los dos tipos de carbón para cumplir con las normas ambientales.

X1: Toneladas de carbón C1 por hora

X2: Toneladas de carbón C2 por hora

Problema de Distribución de Productos

Una compañía con dos plantas de producción (Plant1 y Plant2) y dos almacenes (Alm1 y Alm2) busca minimizar los costos de distribución. Se deben considerar las capacidades de producción, los requerimientos de los almacenes y las restricciones de envío.

Costos de transporte ($ por tonelada):

Restricciones:

• Plant1 puede enviar máximo 400 toneladas a Alm1.
• Plant2 debe enviar al menos el doble que Plant1.
• Envíos de Plant1 a Alm2 tienen un sobrecargo del 50%.
• Se deben enviar al menos 300 toneladas desde Plant1 y 200 desde Plant2.

Solución

Se plantea un modelo para determinar las cantidades a enviar desde cada planta a cada almacén, minimizando los costos totales.

Método Simplex

El método simplex se utiliza para resolver problemas de programación lineal. Se parte de un problema aumentado con variables de holgura y se realizan iteraciones para encontrar la solución óptima.

Pasos del Método Simplex

1. Seleccionar la columna pivote (variable entrante) con el coeficiente negativo de mayor valor absoluto.
2. Identificar la fila pivote dividiendo los elementos del lado derecho entre los coeficientes positivos de la columna pivote. La variable básica de la fila pivote sale.
3. Dividir la fila pivote por el número pivote y hacer cero los demás elementos de la columna pivote.
4. Repetir los pasos 1 a 3 hasta que no haya coeficientes negativos en la ecuación objetivo (prueba de optimalidad).

Método Simplex de Dos Fases

Se utiliza cuando hay restricciones de tipo «mayor o igual que» o «igual a». Se agregan variables artificiales y se minimiza su suma en la primera fase. Luego, se resuelve el problema original en la segunda fase.

Pasos del Método Simplex de Dos Fases

1. Agregar variables artificiales y de superávit según las restricciones.
2. Formar una función objetivo que minimice la suma de las variables artificiales.
3. Llevar la función objetivo a la forma canónica sumando las restricciones con variables artificiales.
4. Seleccionar la columna pivote con el coeficiente más positivo (minimización).
5. Eliminar las columnas de variables artificiales y reemplazar la fila de la función objetivo por la original una vez que la fila Z tenga valores 0 y negativos.
6. Llevar la fila de la función objetivo a la forma canónica y continuar con el método simplex para maximizar la función original.

Dualidad

La dualidad en programación lineal permite obtener un problema equivalente al original, con diferentes variables y restricciones, pero con la misma solución óptima.

Método de la Esquina Noroeste

Este método se utiliza para resolver problemas de transporte o asignación. Se asigna la mayor cantidad posible a la celda en la esquina noroeste de la tabla y se continúa con las celdas adyacentes hasta satisfacer la oferta y la demanda.

Pasos del Método de la Esquina Noroeste

1. Asignar el mayor valor posible a la celda X11, agotando el recurso o la demanda.
2. Elegir la celda adyacente a la derecha (Xi,j+1) si hay recursos disponibles, o la celda debajo (Xi+1,j) si no.
3. Asignar 0 si la fila y la columna están agotadas.
4. Continuar hasta asignar todos los recursos y satisfacer todas las demandas.

Método de Asignación

1. Restar el menor valor de cada fila.
2. Actualizar la tabla y restar el menor valor de cada columna.
3. Trazar el mínimo número de líneas que pasen por todos los ceros.
4. Si el número de líneas es igual al número de filas o columnas (n), se ha encontrado la solución óptima. De lo contrario, se continúa con el siguiente paso.
5. Seleccionar el menor valor no tachado y restarlo de los valores no tachados. Sumar este valor a los valores en la intersección de las líneas. Los demás valores permanecen inalterados.
6. Repetir los pasos 3 a 5 hasta encontrar la solución óptima.