Probabilidad: Experimentos Aleatorios: Un experimento aleatorio es un experimento cuyo resultado no se puede predecir. Ejemplo: El lanzamiento de un dado es un experimento aleatorio ya que el número que va a salir tras el lanzamiento no se puede predecir.

Espacio Muestral: El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto formado por todos los resultados posibles. Para designar al espacio muestral de un experimento aleatorio se suele utilizar la letra E. Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, el espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso: Un suceso de un experimento aleatorio es cualquier subconjunto de su espacio muestral. Ejemplo: El subconjunto A = {3, 5} de E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} es un suceso del experimento aleatorio consistente en lanzar un dado. Los sucesos se pueden describir directamente o mediante un enunciado como se ve en el ejemplo siguiente: Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, el suceso «Número par» es el suceso {2, 4, 6}.

Probabilidad de un Suceso: La probabilidad de un suceso es el número del intervalo [0, 1[ que indica las posibilidades que hay de que el suceso ocurra. Para referirse por escrito a la probabilidad del suceso A se utiliza el signo «p(A)».

Regla de Laplace: La regla dice que cuando los resultados posibles son equiprobables, es decir, cuando todos tienen las mismas posibilidades de salir, la probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de resultados favorables al suceso y el número de resultados posibles. Ejemplo: Si lanzamos un dado que no sea defectuoso, como todos los resultados posibles tienen las mismas posibilidades de salir, podemos calcular la probabilidad de cualquier suceso dividiendo el número de resultados favorables entre el número de resultados posibles: p(«Número 6″) = 5/6; p(«Número par») = 3/6 = 1/2

Cálculo de Probabilidades: Veamos con unos ejemplos algunas técnicas para calcular la probabilidad de un suceso: Ejemplo: 1) En el experimento aleatorio consistente en sacar una bola de un bombo en el que hay 4 bolas rojas y 5 azules, numeradas del 1 al 9, calcula la probabilidad de que la bola sea roja, la probabilidad de que la bola sea azul y la probabilidad de que el número de la bola sea el 6.

Como todas las bolas tienen las mismas posibilidades de salir, las probabilidades pedidas se pueden calcular utilizando la Regla de Laplace: p(«Bola roja») = 4/9; p»(Bola azul») = 5/9; p(«Número 6») = 1/9.

2) En el experimento aleatorio consistente en lanzar 2 dados, calcula la probabilidad de que la suma de los números que han salido sea 7. La suma correspondiente a cada resultado posible puede verse en la siguiente tabla:

Como los resultados posibles son equiprobables, la probabilidad de que la suma de los números que han salido sea 7 se puede calcular por la Regla de Laplace: p(«suma 7») = 6/36 = 1/6.

Ejercicio de Probabilidad 3) En un bombo hay 4 bolas rojas y 5 azules.

a) En el experimento aleatorio consistente en extraer sucesivamente 2 bolas del bombo sin introducir en él la primera bola extraída antes de extraer la segunda, calcula la probabilidad de que la segunda bola sea roja y la probabilidad de que el número de bolas azules sea 1.

– Una forma de calcular la probabilidad de estos sucesos es construir un diagrama en árbol en el que se muestren todos los resultados posibles.

– Calcular a continuación la probabilidad de las ramas en las que ocurre los sucesos multiplicando la probabilidad de que ocurra el primer suceso de la rama por la probabilidad de que ocurra el segundo en el caso de que haya ocurrido el primero:

p(«RR») = 4/9 · 3/8 = 1/6  ; p(«RA») = 4/9 · 5/8 = 5/18  ;  p(«AR») = 5/9 · 4/8 = 5/18

Y por último calcular la probabilidad de los sucesos sumando las probabilidades de las ramas en las que ocurren: p(2ª bola roja) =

 p(«RR») + p(«AR») = 1/6 + 5/18 = 4/9  ;

p(«Número de bolas azules = 1») = p(«RA») + p(«AR») = 5/18 + 5/18 = 5/9

b) En el experimento aleatorio consistente en extraer sucesivamente 2 bolas del bombo introduciendo en él la primera bola extraída antes de extraer la segunda, calcula la probabilidad de los mismos sucesos del apartado a). Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea roja y la probabilidad de que el número de bolas azules sea 1. – En este experimento aleatorio el diagrama en árbol en el que se muestran todos los resultados posibles es el mismo que en el del apartado a), la probabilidad de las ramas en las que ocurre los sucesos es p(«RR») = 4/9 · 4/9 = 16/81 ;  p(«RA») = 4/9 · 5/9 = 20/81  ;  p(«AR») = 5/9 · 4/9 = 20/81  y la probabilidad de los sucesos es p»( 2ª bola roja») = p(«RR») + p(«AR») = 16/81 + 20/81 = 4/9  ;  p(«Número de bolas azules = 1») = p(«RA») + p(«AR») = 20/81 + 20/81 = 40/81