Propiedades Clave de Espacios Vectoriales

A continuación, se presentan una serie de propiedades y teoremas fundamentales relacionados con espacios vectoriales, dependencia lineal, bases y sistemas generadores.

1. Dependencia Lineal en Conjuntos con Más Vectores que la Base

Si B = {V₁, V₂, …, V_n} es una base de un espacio vectorial V y A = {U₁, U₂, …, U_k} es un conjunto en V, entonces, si k > n, el conjunto A es linealmente dependiente (L.D.).

Demostración:

Sea 0 = A₁U₁ + A₂U₂ + … + A_kU_k ... (1)

Como cada U_i es combinación lineal (C.L.) de B, se tiene:

• U₁ = C₁₁V₁ + C₂₁V₂ + … + C_n1V_n
• U₂ = C₁₂V₁ + C₂₂V₂ + … + C_n2V_n
• …
• U_k = C_1kV₁ + C_2kV₂ + … + C_nkV_n

Reemplazando en (1):

0 = A₁(C₁₁V₁ + C₂₁V₂ + … + C_n1V_n) + A₂(C₁₂V₁ + C₂₂V₂ + … + C_n2V_n) + … + A_k(C_1kV₁ + C_2kV₂ + … + C_nkV_n)

0 = (A₁C₁₁ + A₂C₁₂ + … + A_kC_1k)V₁ + (A₁C₂₁ + A₂C₂₂ + … + A_kC_2k)V₂ + … + (A₁C_n1 + A₂C_n2 + … + A_kC_nk)V_n

Como B es linealmente independiente (L.I.):

• A₁C₁₁ + A₂C₁₂ + … + A_kC_1k = 0
• A₁C₂₁ + A₂C₂₂ + … + A_kC_2k = 0
• …
• A₁C_n1 + A₂C_n2 + … + A_kC_nk = 0

Este sistema homogéneo tiene n ecuaciones y k incógnitas. Dado que k > n, el sistema tiene infinitas soluciones, por lo que el conjunto A es L.D.

2. Cardinalidad de las Bases de un Espacio Vectorial

Si A y B son dos bases de un espacio vectorial V, entonces A y B tienen el mismo número de elementos.

Demostración:

a) Supongamos que A y B son bases de V, con A teniendo m elementos y B teniendo n elementos. Como A es una base de V con m elementos, si n > m, el conjunto B sería L.D., lo cual no es posible porque B también es una base. Luego, n ≤ m.

b) De la misma manera, como B es una base de V, se tiene que m ≤ n.

De (a) y (b), si n ≤ m y m ≤ n, entonces m = n. Por lo tanto, A y B tienen el mismo número de elementos.

3. Caracterización de Conjuntos Linealmente Independientes

Un conjunto A = {V₁, V₂, …, V_n} es L.I. si y solo si ningún vector de A es C.L. de los vectores restantes.

Demostración:

Sabemos que un conjunto A es L.D. si y solo si algún vector es C.L. de los restantes. Si un conjunto no es L.D., entonces es L.I. Por lo tanto, si ningún vector es C.L. de los restantes, necesariamente el conjunto será L.I.

4. Teorema de Generación con Combinación Lineal

Si el vector w es C.L. del conjunto B = {V₁, V₂, …, V_n}, entonces B y B’ = {V₁, V₂, …, V_n, w} generan el mismo espacio.

Demostración:

Demostramos por doble inclusión:

gen(B) ⊆ gen(B’) y gen(B’) ⊆ gen(B)

gen(B) = {v ∈ V / v = A₁V₁ + A₂V₂ + … + A_nV_n}

gen(B’) = {v’ ∈ V / v’ = B₁V₁ + B₂V₂ + … + B_nV_n + B_n+1w}

a) gen(B) ⊆ gen(B’): Sea v ∈ gen(B); entonces v = A₁V₁ + A₂V₂ + … + A_nV_n = A₁V₁ + A₂V₂ + … + A_nV_n + 0w. Luego, v ∈ gen(B’) y gen(B) ⊆ gen(B’).

b) gen(B’) ⊆ gen(B): Sea v’ ∈ gen(B’); entonces v’ = B₁V₁ + B₂V₂ + … + B_nV_n + B_n+1w … (1). Pero w = C₁V₁ + C₂V₂ + … + C_nV_n. Sustituyendo en (1):

v’ = B₁V₁ + B₂V₂ + … + B_nV_n + B_n+1(C₁V₁ + C₂V₂ + … + C_nV_n)

v’ = (B₁ + B_n+1C₁)V₁ + (B₂ + B_n+1C₂)V₂ + … + (B_n + B_n+1C_n)V_n

Luego, v’ ∈ gen(B) y gen(B’) ⊆ gen(B). De las partes (a) y (b), se tiene que gen(B) = gen(B’).

5. Bases en Espacios Vectoriales de Dimensión Finita

Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Entonces:

• Todo subconjunto L.I. de n vectores es una base de V.
• Todo sistema de generadores de n vectores es una base de V.

Demostración:

a) Sea B = {V₁, V₂, …, V_n} un conjunto de vectores L.I. de V. Para que B sea una base de V, solo falta probar que es un sistema de generadores. Supongamos que B no es un sistema de generadores de V, entonces existe al menos un vector w ∈ V que no es C.L. del conjunto B. Entonces, si agregamos w al conjunto B, tendremos el conjunto B’ = {V₁, V₂, …, V_n, w}, que sería L.I., lo cual no es posible porque dim(V) = n y, por teorema, todo conjunto que tiene más vectores que la base es L.D. Por lo tanto, necesariamente B es un sistema de generadores de V y es una base de V.

b) Sea B = {V₁, V₂, …, V_n} un sistema de generadores de V. Para que B sea una base, solo falta probar que es L.I. Supongamos que B es L.D., entonces hay al menos un vector que es C.L. de los demás. Si sacamos este vector, obtenemos un conjunto L.I. de (n-1) vectores que sigue generando V, por lo que sería una base de V, lo cual no es posible porque dim(V) = n. Por lo tanto, necesariamente B es L.I. y es una base de V.

6. Dependencia Lineal de Polinomios en P₂

Cualesquiera cuatro polinomios de P₂ son L.D.

Demostración:

dim(P₂) = 3. Entonces, cualquier conjunto de más de 3 polinomios de P₂ será L.D. (por teorema). Luego, cualesquiera cuatro polinomios de P₂ serán L.D.

7. Extensión de Conjuntos Linealmente Independientes a una Base

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, dim(V) = n; y sea {V₁, V₂, …, V_k} un conjunto L.I. de vectores de V. Entonces, existen vectores V_k+1, V_k+2, …, V_n tales que {V₁, V₂, …, V_k, V_k+1, V_k+2, …, V_n} es una base de V.

Demostración:

a) Si {V₁, V₂, …, V_k} es L.I. y genera todo V, entonces es una base de V. En este caso, k = n y el teorema está demostrado.

b) Si {V₁, V₂, …, V_k} es L.I., pero no genera todo V, entonces existe al menos un vector en V que no es C.L. del conjunto. Si agregamos este vector al conjunto, tendríamos {V₁, V₂, …, V_k, V_k+1}, que también es L.I. Si este conjunto genera todo V, forma una base de V y el teorema está demostrado. Si no genera todo V, existe al menos un vector que no es C.L. del conjunto. Agregando este vector, se tiene que {V₁, V₂, …, V_k, V_k+1, V_k+2} es L.I. Si además genera V, forma una base. Si no genera todo V, continúa el proceso agregando siempre un vector que no es C.L. del conjunto. El proceso termina cuando llegamos a n vectores, porque dim(V) = n y la base no puede tener más de n vectores.