Propiedades de las Exponenciales

Las siguientes propiedades son fundamentales en el cálculo y álgebra:

Propiedad I

\(a^{b+c} = a^b \cdot a^c\),

\(a \in \mathbb{R}^+\),

\(b, c \in \mathbb{R}\)

Propiedad II

\(a^{b-c} = \frac{a^b}{a^c}\),

\(a \in \mathbb{R}^+\),

\(b, c \in \mathbb{R}\)

Propiedad III

\(a^{b \cdot c} = (a^b)^c\),

\(a \in \mathbb{R}^+\),

\(b, c \in \mathbb{R}\)

Propiedad IV

\((a \cdot b)^c = a^c \cdot b^c\),

\(a, b \in \mathbb{R}^+\),

\(c \in \mathbb{R}\)

Propiedad V

\(\left(\frac{a}{b}\right)^c = \frac{a^c}{b^c}\),

\(a, b \in \mathbb{R}^+\),

\(c \in \mathbb{R}\)

Demostraciones de las Propiedades Exponenciales

Dados \(a \in \mathbb{R}^+\) y \(b, c \in \mathbb{R}\), se tiene que:

• \(a^{b+c} = \exp((b + c) \ln a) = \exp(b \ln a + c \ln a) = \exp(b \ln a) \exp(c \ln a) = a^b a^c\)
• \(a^{b-c} = \exp((b – c) \ln a) = \exp(b \ln a – c \ln a) = \frac{\exp(b \ln a)}{\exp(c \ln a)} = \frac{a^b}{a^c}\)
• \(a^{b \cdot c} = \exp(c \ln a^b) = \exp(bc \ln a) = a^{bc}\)
• \((a \cdot b)^c = \exp(c \ln(ab)) = \exp(c \ln a + c \ln b) = \exp(c \ln a) \exp(c \ln b) = a^c b^c\)
• \(\left(\frac{a}{b}\right)^c = \exp\left(c \ln \left(\frac{a}{b}\right)\right) = \exp(c \ln a – c \ln b) = \frac{\exp(c \ln a)}{\exp(c \ln b)} = \frac{a^c}{b^c}\)

Regla de la Cadena

Sean \(f: A \to \mathbb{R}\) y \(g: B \to \mathbb{R}\) funciones reales de variable real tales que \(f(A) \subseteq B\) y sea \(x_0 \in A \cap A’\). Supongamos que \(f\) es derivable en \(x_0\), que \(f(x_0)\) es un punto de acumulación de \(B\) y que \(g\) es derivable en \(f(x_0)\). Entonces \(g \circ f\) es derivable en \(x_0\) y

\((g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0))f'(x_0)\).

Demostración: Consideremos la función \(\phi: B \to \mathbb{R}\) definida por

\(\phi(f(x_0)) = g'(f(x_0))\), \(\phi(y) = \frac{g(y) – g(f(x_0))}{y – f(x_0)}\) para todo \(y \in B \setminus \{f(x_0)\}\|).

La derivabilidad de \(g\) en \(f(x_0)\) se traduce en la continuidad de \(\phi\) en \(f(x_0)\).

Es claro que \(g(y) – g(f(x_0)) = \phi(y)(y – f(x_0))\), para todo \(y \in B\). En particular,

\(g(f(x)) – g(f(x_0)) = \phi(f(x))(f(x) – f(x_0))\), para todo \(x \in A\).

Así pues, dado \(x \in A \setminus \{x_0\}\),

\(\frac{(g \circ f)(x) – (g \circ f)(x_0)}{x – x_0} = (\phi \circ f)(x) \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\)

Puesto que la función \(\phi \circ f\) es continua en \(x_0\) (por ser la composición de una función continua, de hecho derivable, en \(x_0\) con una función continua en \(f(x_0)\)) se tiene que

\(\lim_{x \to x_0} (\phi \circ f)(x) = (\phi \circ f)(x_0) = \phi(f(x_0)) = g'(f(x_0))\).

Teniendo en cuenta además que \(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = f'(x_0)\), deducimos que la función \(x \mapsto \frac{(g \circ f)(x) – (g \circ f)(x_0)}{x – x_0} = g'(f(x_0))f'(x_0)\).

Por tanto, \(g \circ f\) es derivable en \(x_0\) y \((g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0))f'(x_0)\).

Teorema de Rolle

Sea \(f: [a, b] \to \mathbb{R}\) una función continua en \([a, b]\) y derivable en \(]a, b[\). Supongamos además que \(f(a) = f(b)\). Entonces existe \(c \in ]a, b[\) tal que \(f'(c) = 0\).

El Teorema de Rolle proporciona la unicidad de soluciones en ciertos casos. Por ejemplo, la ecuación \(2x^3 + 3x^2 + 6x – 6 = 0\) tiene una única solución real en el intervalo \(]0, 1[\).

Teorema de Bolzano

Sean \(a\) y \(b\) números reales tales que \(a < b\) y sea \(f: [a, b] \to \mathbb{R}\) una función continua en \([a, b]\). Supongamos que \(f(a)f(b) < 0\). Entonces existe \(x_0 \in ]a, b[\) tal que \(f(x_0) = 0\).

Demostración: La condición \(f(a)f(b) < 0\) implica que \(f(a)\) y \(f(b)\) tienen signos opuestos. Supongamos que \(f(a) < 0\) y \(f(b) > 0\).

Sea \(A = \{x \in [a, b] : f(x) \leq 0\}\).

El conjunto \(A\) no es vacío (\(a \in A\)) y está mayorado (por \(b\)). \(x_0 = \sup A\), \(a \leq x_0 \leq b\)

y \(f(x_0) = 0\). Existe una sucesión \(\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) de elementos de \(A\) tal que \(\{x_n\}\) converge a \(x_0\). La continuidad de \(f\) en \(x_0\) garantiza que \(\{f(x_n)\}\) converge a \(f(x_0)\). \(f(x_n) \leq 0\)

, \(f(x_0) \leq 0\).

\(x_0 < b\). Para cada \(n \in \mathbb{N}\) sea \(t_n = x_0 + \frac{b – x_0}{n}\). Entonces \(x_0 < t_n \leq b\)

y, en particular, \(t_n \notin A\). Por tanto, \(f(t_n) > 0\). La sucesión \(\{t_n\}\) converge a \(x_0\) y, por la continuidad de \(f\), \(\{f(t_n)\}\) converge a \(f(x_0)\). \(f(x_0) \geq 0\)

(lo que implica que \(a < x_0\)). El caso \(f(b) < 0\) se razona de forma análoga.

Regla de Barrow

Sea \(f: [a, b] \to \mathbb{R}\) una función integrable y supongamos que existe \(G: [a, b] \to \mathbb{R}\) continua en \([a, b]\) y derivable en \(]a, b[\) tal que \(G'(x) = f(x)\) para todo \(x \in ]a, b[\). Entonces

\(\int_a^b f = G(b) – G(a)\)

Demostración: Sea \(P = \{t_0, t_1, …, t_n\}\) una partición arbitraria del intervalo \([a, b]\). Entonces

\(G(b) – G(a) = \sum_{k=1}^n (G(t_k) – G(t_{k-1}))\)

Dado \(k \in \{1, …, n\}\), aplicamos el teorema del valor medio a la restricción de \(G\) al intervalo \([t_{k-1}, t_k]\), obteniendo un punto \(c_k \in ]t_{k-1}, t_k[\) tal que

\(G(t_k) – G(t_{k-1}) = G'(c_k)(t_k – t_{k-1}) = f(c_k)(t_k – t_{k-1})\)

Sustituyendo en \(G(b) – G(a) = \sum_{k=1}^n (G(t_k) – G(t_{k-1}))\),

vemos que

\(G(b) – G(a) = \sum_{k=1}^n f(c_k)(t_k – t_{k-1})\)

De donde se deduce que

\(s(f, P) \leq G(b) – G(a) \leq S(f, P)\)

La arbitrariedad de \(P\) permite afirmar entonces que

\(\underline{\int_a^b} f \leq G(b) – G(a) \leq \overline{\int_a^b} f\)

Puesto que \(f\) es integrable,

\(\int_a^b f = \underline{\int_a^b} f = \overline{\int_a^b} f\)

Luego, \(\int_a^b f = G(b) – G(a)\).

Corolario (Teorema del Valor Intermedio)

Sea \(f : I \to \mathbb{R}\) una función continua en un intervalo \(I\). Entonces \(f(I)\) es un intervalo.

Demostración Sea \(I\) un intervalo y \(f : I \to \mathbb{R}\) una función continua. Consideremos \(y_1, y_2 \in f(I)\) con \(y_1 < y_2\)

y veamos que \(f\) toma todos los valores entre \(y_1\) e \(y_2\), es decir \([y_1,y_2] \subset f(I)\).

Sea \( y \in [y_1,y_2]\). Si \(y=y_1\) o \(y=y_2\) es claro que \(y \in f(I)\). Supongamos \(y_1

(\([a,b] \subset I\)). \(g\) es continua en \([a,b]\) y \(g(a)g(b)= (f(x_1)-y)(f(x_2)-y)=(y_1-y)(y_2-y) < 0\), luego por el Teorema de Bolzano, \(\exists x_0 \in ]a,b[/ g(x_0)=0\), es decir \(f(x_0)=y\). \(y \in f(I)\) y \([y_1, y_2] \subset f(I)\).

Teorema del Valor Medio (Lagrange)

Sea \(f: [a, b] \to \mathbb{R}\) una función continua en \([a, b]\) y derivable en \(]a, b[\). Entonces existe \(c \in ]a, b[\) tal que

\(f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}\)

La demostración se reduce a aplicar el Teorema de Rolle a la función \(h: [a, b] \to \mathbb{R}\) definida por \(h(x) = (f(b) – f(a))x – (b – a)f(x)\), para todo \(x \in [a, b]\).

De forma más general, si \(f, g: [a, b] \to \mathbb{R}\) son funciones continuas en \([a, b]\) y derivables en \(]a, b[\), podemos considerar la función \(h: [a, b] \to \mathbb{R}\) definida por \(h(x) = (f(b) – f(a))g(x) – (g(b) – g(a))f(x)\), para todo \(x \in [a, b]\), que cumple las hipótesis del Teorema de Rolle. Por tanto, existe \(c \in ]a, b[\) tal que \(h'(c) = 0\), es decir, \((f(b) – f(a))g'(c) = (g(b) – g(a))f'(c)\).