Propiedades de las Aplicaciones

1. Si X₁ ⊆ X₂ ⊆ A, entonces f(X₁) ⊆ f(X₂).
2. Si X₁, X₂ ⊆ A, entonces f(X₁ ∪ X₂) = f(X₁) ∪ f(X₂).
3. Si X₁, X₂ ⊆ A, entonces f(X₁ ∩ X₂) ⊆ f(X₁) ∩ f(X₂).
4. Si Y₁ ⊆ Y₂ ⊆ B, entonces f ⁻¹(Y₁) ⊆ f ⁻¹(Y₂).
5. Si Y₁, Y₂ ⊆ B, entonces f ⁻¹(Y₁ ∪ Y₂) = f ⁻¹(Y₁) ∪ f ⁻¹(Y₂).
6. Si Y₁, Y₂ ⊆ B, entonces f ⁻¹(Y₁ ∩ Y₂) = f ⁻¹(Y₁) ∩ f ⁻¹(Y₂).

Demostraciones

1. Si b ∈ f(X₁) existe x ∈ X₁ tal que b = f(x) pero, como también x ∈ X₂ pues X₁ ⊆ X₂, se tiene que b = f(x) ∈ f(X₂).

2. Por 1, como X₁, X₂ ⊆ X₁ ∪ X₂, se tiene que f(X₁), f(X₂) ⊆ f(X₁ ∪ X₂), luego f(X₁) ∪ f(X₂) ⊆ f(X₁ ∪ X₂). Recíprocamente, si b ∈ f(X₁ ∪ X₂), b = f(x) para algún x ∈ X₁ ∪ X₂; si x ∈ X₁ entonces b ∈ f(X₁) y si x ∈ X₂ entonces b ∈ f(X₂), por lo que b ∈ f(X₁) ∪ f(X₂).

3. Si b ∈ f(X₁ ∩ X₂), existe x ∈ X₁ ∩ X₂ tal que b = f(x); como x ∈ X₁ entonces b ∈ f(X₁) y como x ∈ X₂ entonces b ∈ f(X₂), por lo que b ∈ f(X₁) ∩ f(X₂), luego f(X₁ ∩ X₂) ⊆ f(X₁) ∩ f(X₂).

4. Si a ∈ f ⁻¹(Y₁) se tiene que f(a) ∈ Y₁; pero, como Y₁ ⊆ Y₂, también se tiene que f(a) ∈ Y₂, luego a ∈ f ⁻¹(Y₂) y, por tanto, f ⁻¹(Y₁) ⊆ f ⁻¹(Y₂).

5. a ∈ f ⁻¹(Y₁ ∪ Y₂) ⇐⇒ f(a) ∈ Y₁ ∪ Y₂ ⇐⇒ f(a) ∈ Y₁ o f(a) ∈ Y₂ ⇐⇒ a ∈ f ⁻¹(Y₁) o a ∈ f ⁻¹(Y₂) ⇐⇒ f(a) ∈ f ⁻¹(Y₁) ∪ f ⁻¹(Y₂).

6. a ∈ f ⁻¹(Y₁ ∩ Y₂) ⇐⇒ f(a) ∈ Y₁ ∩ Y₂ ⇐⇒ f(a) ∈ Y₁ y f(a) ∈ Y₂ ⇐⇒ a ∈ f ⁻¹(Y₁) y a ∈ f ⁻¹(Y₂) ⇐⇒ f(a) ∈ f ⁻¹(Y₁) ∩ f ⁻¹(Y₂).

Relaciones entre Conjuntos y Aplicaciones

1. Si X ⊆ A, entonces X ⊆ f ⁻¹(f(X)).

   Si x ∈ X se tiene que f(x) ∈ f(X) y, por tanto, x ∈ f ⁻¹(f(X)), por lo que X ⊆ f ⁻¹(f(X)).

2. Si Y ⊆ B, entonces f(f ⁻¹(Y)) ⊆ Y.

   Si b ∈ f(f ⁻¹(Y)), existirá x ∈ f ⁻¹(Y) tal que b = f(x); pero si x ∈ f ⁻¹(Y), b = f(x) ∈ Y; por lo que f(f ⁻¹(Y)) ⊆ Y.

Composición de Aplicaciones

1. Si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f es inyectiva.

   Si f y g son inyectivas, dados a, a’ ∈ A con a ≠ a’, por ser f inyectiva, se tiene que f(a) ≠ f(a’) y, por ser g inyectiva, g(f(a)) ≠ g(f(a’)); por lo que (g ◦ f)(a) = g(f(a)) ≠ g(f(a’)) = (g ◦ f)(a’) y g ◦ f es inyectiva.

2. Si f y g son suprayectivas, entonces g ◦ f es suprayectiva.

   Si f y g son suprayectivas, para cada elemento c ∈ C, por ser g suprayectiva, existirá b ∈ B tal que c = g(b) y, por ser f suprayectiva, dado este elemento b existirá a ∈ A tal que b = f(a); por lo que (g ◦ f)(a) = g(f(a)) = g(b) = c y, por tanto, g ◦ f es suprayectiva.

Aplicaciones Biyectivas y sus Inversas

Sea f : A → B una aplicación. Si f es una aplicación biyectiva, entonces f ⁻¹ ◦ f = Id_A y f ◦ f ⁻¹ = Id_B. Recíprocamente, si existe una aplicación g : B → A tal que g ◦ f = Id_A y f ◦ g = Id_B, entonces f es biyectiva y g = f ⁻¹.

Demostración:

Si f es una aplicación biyectiva y f ⁻¹ es su aplicación inversa, para cada b ∈ B se tiene que f ⁻¹(b) = a ∈ A ⇐⇒ f(a) = b; por lo que, para cualquier b ∈ B, si a = f ⁻¹(b), se tiene que (f ◦ f ⁻¹)(b) = f(f ⁻¹(b)) = f(a) = b y, por tanto, f ◦ f ⁻¹ = Id_B. Análogamente, para cada a ∈ A se tiene que (f ⁻¹ ◦ f)(a) = f ⁻¹(f(a)) = a, por lo que f ⁻¹ ◦ f = Id_A. Recíprocamente, si existe una aplicación g : B → A tal que g ◦ f = Id_A y f ◦ g = Id_B, como Id_A = g ◦ f es inyectiva, f es inyectiva y, como Id_B = f ◦ g es suprayectiva, f es suprayectiva; por lo que f es biyectiva, tendrá inversa y, además, para cada b ∈ B se tiene que si g(b) = a, entonces f(a) = f(g(b)) = (f ◦ g)(b) = Id_B(b) = b; por lo que f ⁻¹(b) = a = g(b) y g = f ⁻¹.

Inversa de la Composición de Aplicaciones Biyectivas

Si f : A → B y g : B → C son aplicaciones biyectivas, entonces (g ◦ f) ⁻¹ = f ⁻¹ ◦ g ⁻¹.

(g ◦ f) ◦ (f ⁻¹ ◦ g ⁻¹) = ((g ◦ f) ◦ f ⁻¹) ◦ g ⁻¹ = (g ◦ (f ◦ f ⁻¹)) ◦ g ⁻¹ = (g ◦ Id_B) ◦ g ⁻¹ = g ◦ g ⁻¹ = Id_C, y también (f ⁻¹ ◦ g ⁻¹) ◦ (g ◦ f) = f ⁻¹ ◦ (g ⁻¹ ◦ (g ◦ f)) = f ⁻¹ ◦ ((g ⁻¹ ◦ g) ◦ f) = f ⁻¹ ◦ (Id_B ◦ f) = f ⁻¹ ◦ f = Id_A, y, por la proposición 2.25, resulta que (g ◦ f) ⁻¹ = f ⁻¹ ◦ g ⁻¹.

Conjuntos Infinitos

Si A es un subconjunto de B y A es infinito, entonces B es infinito.

Un conjunto es infinito si y solo si existe una aplicación inyectiva de N hacia al conjunto. Supongamos que A es un conjunto infinito, por tanto existe una aplicación f : N → A. Sea ι : A → B la inclusión, que es inyectiva. Entonces, la composición ι ◦ f : N → B es también inyectiva, por lo tanto, B es infinito.

Equivalencias de Conjuntos Infinitos

A es infinito implica Existe una aplicación inyectiva f : A → A que no es suprayectiva.

1) ⇒ 2) Si A es un conjunto infinito, existe un subconjunto propio B de A y una biyección f : A → B. Si i_B es la inclusión de B en A, entonces i_B es no suprayectiva y, por tanto, i_B ◦ f no puede ser suprayectiva y sí es una aplicación inyectiva por ser composición de dos aplicaciones inyectivas.

Existe una aplicación inyectiva f : A → A que no es suprayectiva implica Existe una aplicación suprayectiva g : A → A que no es inyectiva.

2) ⇔ 3) Sea f : A → A es una aplicación inyectiva no suprayectiva. Por el ejercicio 9 del tema 2, existe g : A → A tal que g ◦ f = Id_A. Entonces, g es suprayectiva por el ejercicio 5 del tema 2 y no puede ser inyectiva, ya que de serlo sería biyectiva y, por tanto, f = g ⁻¹ y f también sería biyectiva. El recíproco se prueba de la misma forma.

A es infinito si y solo si Existe una aplicación inyectiva f : N → A.

2) ⇒ 4) Sea h : A → A inyectiva no suprayectiva. Elegimos a₀ ∈ A \ Im(h) y definimos f : N → A mediante la fórmula f(n) = hⁿ(a₀) (hⁿ es la composición de h consigo misma n veces y h⁰ = Id. Es decir: f(0) = a₀, f(1) = h(a₀), f(2) = h(h(a₀)), etc.) Veamos que f, así definida, es inyectiva. Supongamos que f(n) = f(m) con n ≠ m. Podemos suponer, por ejemplo, que n < m. Entonces f(n) = hⁿ(a₀) = h^m(a₀) = f(m). Si n = 0 tenemos que a₀ = h^m(a₀), lo que es contradictorio pues a₀ ∉ Im(h). Si n > 0, por ser h inyectiva, se tiene que h^n-1(a₀) = h^m-1(a₀). Si n-1 = 0, al igual que antes hemos terminado, si no volvemos a usar que h es inyectiva para tener h^n-2(a₀) = h^m-2(a₀). Después de n pasos, al final llegaremos a a₀ = h^m-n(a₀) lo que es contradictorio pues a₀ ∉ Im(h).

Conjuntos Finitos y Biyecciones

Todo conjunto finito A está en biyección con un conjunto I_n para algún n ∈ N.

Supongamos que A no está en biyección con ningún I_n. Entonces A ≠ ∅ y en consecuencia existe x₁ ∈ A. Definimos f₁ : I₁ → A por f₁(0) = x₁; esta aplicación es inyectiva y no puede ser suprayectiva, de modo que existirá un x₂ ∈ A\Im(f₁) y podremos definir f₂ : I₂ → A tal que f₂(0) = f₁(0) = x₁ y f₂(1) = x₂ (es decir f₂|I₁ = f₁ y f₂(1) = x₂). De forma general, si tenemos definida una aplicación f_n : I_n → A inyectiva y tal que la restricción de f_n a cada I_m con m < n coincide con f_m, existirá un x_n+1 ∈ A tal que x_n+1 ∉ Im(f_n), y podemos definir f_n+1 : I_n+1 → A por f_n+1(m) = f_m(m) si m < n y f_n+1(n) = x_n+1, obteniendo así una aplicación inyectiva de I_n+1 en A. Finalmente, la aplicación f : N → A dada por f(n) := f_n+1(n), está bien definida y es una aplicación inyectiva, lo que nos lleva, por la proposición anterior, a una contradicción.