Teorema de Separabilidad, 2-numerabilidad y Lindelöf

6.11 Teorema: Sea (E, d) un espacio métrico. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. E es separable.
2. E es 2-numerable.
3. E es de Lindelöf.

Demostración: Sea (E, d) un espacio métrico. Si E es separable, contendrá un conjunto D = {xn} denso y numerable. Es claro que B = {B(xn, r) : xn ∈ D, r ∈ Q} es numerable. Veamos que es una base: dado un abierto U y un punto x ∈ U, existirá r ∈ Q tal que B(x, r) ⊂ U. Pero D denso implica D ∩ B(x, r/3) ≠ ∅. Sea xn ∈ D ∩ B(x, r/3), entonces x ∈ B(xn, 2r/3) ⊂ B(x, r) ⊂ U. Luego, B es una base numerable para la topología inducida por la métrica de E y, por tanto, E es 2-numerable.

En (4.29) hemos probado que ser 2-numerable implica ser de Lindelöf.

Finalmente, si E es de Lindelöf, Ur = {B(x, r) : x ∈ X} es un recubrimiento abierto de E para cada r ∈ Q, que contendrá un subrecubrimiento numerable U’r = {B(xrn, r) : n ∈ N}. Sea Dr = {xrn : n ∈ N} y D = ∪_{r∈Q} Dr. Entonces D es numerable y si U es abierto y x ∈ U, existirá r ∈ Q tal que x ∈ B(x, r) ⊂ U, ya que E es 1-numerable. Como U’r es un recubrimiento numerable de E, existirá xrn ∈ X tal que x ∈ B(xrn, r). Pero d(x, xrn) < r implica que también xrn ∈ B(x, r), entonces U ∩ Dr ≠ ∅ y, por tanto, U ∩ D ≠ ∅. Luego, D es también denso.

Teorema de Continuidad en Espacios Métricos

1.22 Teorema: Sea f : (X, dX) → (Y, dY) una aplicación entre espacios métricos. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. f es continua.
2. f⁻¹(V) es abierto en X para todo V abierto en Y.
3. Para todo x ∈ X y abierto V en Y tal que f(x) ∈ V, existe U abierto en X tal que x ∈ U y f(U) ⊂ V.

Demostración: Sea f continua y V abierto en Y. Si f⁻¹(V) = ∅, ya está probado. En otro caso, sea x ∈ f⁻¹(V), entonces f(x) ∈ V y, por ser V abierto, existirá ε > 0 tal que f(x) ∈ B(f(x), ε) ⊂ V. Como f es continua, existirá δ > 0 tal que f(B(x, δ)) ⊂ B(f(x), ε). Entonces x ∈ B(x, δ) ⊂ f⁻¹(B(f(x), ε)) ⊂ f⁻¹(V) y, por tanto, f⁻¹(V) es abierto.

Supongamos cierto (2). Sean x ∈ X y V abierto en Y tal que f(x) ∈ V. Entonces U = f⁻¹(V) es un abierto tal que x ∈ U y, por tanto, f(U) = f(f⁻¹(V)) ⊂ V.

Sean x ∈ X y ε > 0. Aplicando (3) a V = B(f(x), ε), existirá U abierto en X tal que x ∈ U y f(U) ⊂ B(f(x), ε). Como U es abierto, existe δ > 0 tal que x ∈ B(x, δ) ⊂ U y, por tanto, f(B(x, δ)) ⊂ f(U) ⊂ B(f(x), ε), es decir, f es continua.

Proposición sobre Conjuntos Derivados en Espacios T1

4.3 Proposición: Sea X un T1-espacio y A ⊂ X. Entonces, A’ (el conjunto derivado de A) es cerrado. En particular, se sigue que (A’)’ ⊂ A’ y (Ā)’ = A’.

Demostración: Supongamos que existe x ∈ Ā’ – A’. Entonces, existirá V ∈ E(x) tal que (V – {x}) ∩ A = ∅. Como x ∈ Ā’, se tiene V ∩ A’ ≠ ∅. Sea y ∈ V ∩ A’, entonces (V – {y}) ∩ A ≠ ∅ ya que y ∈ A’. Necesariamente, pues, V ∩ A = {x}. Como y ≠ x y X es un T1-espacio, existirá un abierto Uy tal que y ∈ Uy pero x ∉ Uy. Por tanto, Vy = V ∩ Uy es un entorno de y tal que (Vy – {y}) ∩ A = ∅, lo cual contradice que y ∈ A’. En consecuencia, Ā’ = A’.

En particular, Ā’ = A’ = A’ ∪ (A’)’, lo cual implica que (A’)’ ⊂ A’ y, por tanto, (Ā)’ = (A ∪ A’)’ = A’ ∪ (A’)’ = A’.

Teorema de Conexidad

7.1 Teorema: Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. X es conexo.
2. ∅ y X son los únicos conjuntos simultáneamente abiertos y cerrados en X.
3. No existe una aplicación f : X → S⁰ continua y sobreyectiva.
4. Fr(B) ≠ ∅ para todo B ≠ ∅, X.

Demostración: Si A ≠ ∅, X es abierto y cerrado, entonces {A, X – A} es una separación de X. Luego, (1) ⇒ (2). Supongamos que existe f : X → S⁰ continua y sobreyectiva. Entonces f⁻¹(0) ≠ ∅, X es abierto y cerrado en X, ya que {0} es abierto y cerrado en S⁰, lo cual contradice (2). Luego, (2) ⇒ (3).

Supongamos que X no es conexo y sea {U, V} una separación. Entonces la función característica cV : X → S⁰, dada por cV(x) = 0 si x ∈ U, cV(x) = 1 si x ∈ V, es continua y sobreyectiva, contradiciendo (3). Luego, X debe ser conexo y, por tanto, (3) ⇒ (1).

Sea B ≠ ∅, X y supongamos que Fr(B) = ∅. Como X = Int(B) ∪ Ext(B) ∪ Fr(B), entonces {Int(B), Ext(B)} es una separación de X y, por tanto, (1) ⇒ (4). Recíprocamente, supongamos X no conexo y sea {U, V} una separación de X. Entonces Fr(U) = Ū ∩ X – U = Ū ∩ V̄ = U ∩ V = ∅. Por tanto, (4) ⇒ (1).

Teorema de Homeomorfismo entre un Espacio de Hausdorff Compacto y su Compactificación

5.21 Teorema: Sea Y un espacio de Hausdorff y compacto, q ∈ Y un punto no aislado y sea X = Y – {q}. Entonces Y es homeomorfo a Xc (la compactificación de X).

Demostración: Sea X = Y – {q} y f : Xc → Y tal que f|X = idX y f(p) = q. Claramente, f es una biyección. Veamos que f es una aplicación abierta o, equivalentemente, que f⁻¹ es continua: sea U ∈ τb. Si U ⊂ X, entonces f(U) = U es abierto en Y, ya que X es abierto en Y. Si U = Xc – K con K compacto es un abierto que contiene a {p}, entonces f(U) = f(Xc – K) = Y – f(K) = Y – K, ya que K ⊂ X y f|X = idX. Como todo compacto en un espacio de Hausdorff es cerrado, se sigue que f(U) es abierto.

Entonces f⁻¹ : Y → Xc es una biyección continua de un espacio compacto en un espacio de Hausdorff, por tanto, un homeomorfismo.