Raíz Cuadrada
La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado. Resolver la raíz cuadrada de un número A consiste en encontrar otro número B tal que B2 = A. Es decir, consiste en encontrar cuál es el número que multiplicado dos veces por sí mismo da el valor de A.
Propiedades
- La raíz cuadrada de un número al cuadrado es ese mismo número:
. Esto es así porque a · a = a2
- La raíz cuadrada de un producto de dos o más números es igual al producto de las raíces cuadradas de cada uno de los factores:
Ejemplo: queremos calcular la raíz cuadrada de, que podemos expresarla también como
. Y podemos resolverla de la siguiente manera:
- El cuadrado de la raíz cuadrada de un número es ese mismo número
. Lo podemos afirmar porque
- Ejemplo:
- La raíz cuadrada del cociente de dos números es igual al cociente de las raíces cuadradas de cada uno de los números:
Ejemplo: la raiz cuadra dese puede resolver asi:
Pero también podemos hacerlo de la siguiente manera:
- Es importante observar que esta igualdad también se cumple en sentido contrario, es decir:
Ejemplo:
Ejemplos
- Ejemplo 1: queremos simplificar
y
.
Aplicando las propiedades anteriores, podemos escribir: - Ejemplo 2: queremos simplificar la expresión
.
Factorizamos los radicandos, y obtenemos:
Aplicamos propiedades:
Resolvemos cuadrados perfectos:
Sacamos acomo factor común:
Por tanto, resolviendo paréntesis, tenemos:
El resultado sería 0.
Racionalización
– Si en el denominador lo único que aparece es una raíz, multiplicamos convenientemente el numerador y el denominador por una raíz de tal forma que se vaya del denominador de la raíz.
– Si en el denominador aparecen dos raíces sumándose o restándose, multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador .
Ecuaciones Cuadráticas
Es de la forma ax2 + bx + c = 0 , donde a, b y c son constantes reales y a ¹ 0.
Resolución de E. Cuadráticas
– Por factorización: resolver la ecuación x2 – 12x – 28 = 0
Factorizamos en trinomio recordando el producto de binomios con un término común, es decir, buscando dos números cuyo producto sea -28 y cuya suma sea -12; estos números son -14 y 2, y la factorización es: (x – 14)(x + 2) = 0
Por lo tanto las soluciones son: X1 = 14 y X2 = -2
– Utilizando la fórmula de resolución:
Para resolver la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 ,
podemos utilizar la fórmula:
Propiedades de las Raíces
Dada la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0,y x1 y x2 sus soluciones, se cumple:
1. La suma de las dos soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado, x1 + x2, es
2. El producto de las dos soluciones de una ecuación de segundo grado, x1 × x2, es
Ejercicio:
1. Determinar, sin resolver las ecuaciones, el valor de la suma y del producto de sus soluciones:
Resolución:
a) 2x2 + 7x – 15 = 0; a = 2; b = 7; c = -15
FUNCION CUADRATICA: es aquella que puede escribe como una acuacion de la forma:
f(x) = ax2 + bx + c
donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.
En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.
Así,
ax2 es el término cuadrático
bx es el término lineal
c es el término independiente
Orientación o concavidad
Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax2):
Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x2 − 3x − 5
Si a 2 + 2x + 3
Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.
Su ecuación está dada por:
Donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola.
De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:
Vértice
el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas
La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría y la ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función,
según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante)