Relación entre Momentos y Desplazamientos en Vigas

Consideramos una viga cualquiera, perteneciente a una estructura de nudos rígidos sobre la que actúa un conjunto cualquiera de cargas. Tras su puesta en carga, al considerarla aislada se observarán unos desplazamientos (lineales y angulares) en los nudos de la barra. Los momentos M_ab y M_ba reciben el nombre de momentos de empotramiento elástico en el nudo a y en el nudo b.

Aceptando el principio de superposición, el estado final de la barra ab se considera la suma de los estados siguientes:

M_ab = M_ab + M_ab + M_ab

Donde:

• El primer sumando siempre va a representar un valor numérico determinado.
• El segundo sumando depende de los desplazamientos longitudinales y transversales de los dos extremos de la barra.
• El tercer sumando depende de los desplazamientos angulares de los dos extremos de la barra.

Los tres sumandos del segundo miembro se determinan aplicando los teoremas de Mohr y la ecuación universal de la línea elástica (EULE), obteniendo así la ecuación que demuestra la relación existente entre los momentos de empotramiento elástico de la barra de nudos rígidos y los desplazamientos y giros de los dos nudos a los que acomete.

M_ab = M_ab + [6EI/L²](v_a-v_b) + [2EI/L](2θ_a+θ_b)

Coeficiente de Rigidez a Flexión de una Barra

Es la magnitud del momento que es necesario aplicar en el extremo n de la barra para que en él se produzca un giro igual a la unidad (1 radián). El coeficiente se representa por el símbolo k y su ecuación es:

• En una barra empotrada-empotrada: K_mn = 4EI/L
• En una barra empotrada-articulada: K_mn = 3EI/L

Coeficientes de Reparto

Coeficientes de reparto correspondientes a las barras que concurren en el mismo nudo de una estructura de nudos rígidos. Es un valor que se obtiene a través de la siguiente fórmula:

C_mn = K_mn / ΣK_m

Su objetivo es repartir proporcionalmente las magnitudes de los momentos entre las barras que acometen a ese nudo. La suma de los coeficientes de reparto de un mismo nudo siempre tiene que ser la unidad.

Matriz de Rigidez

K_a es el operador que permite determinar los esfuerzos en los extremos de la barra a producidos por los desplazamientos de sus extremos. La ecuación matricial del estado de una barra es:

[e] = [K_a] [d]

Donde e es un vector de esfuerzos y d un vector de desplazamientos.

Métodos de Análisis Estructural

Método del Baricentro

Adopta la hipótesis de que en cada nivel, el esfuerzo axil en cada pilar es directamente proporcional a su distancia al centro de gravedad de las secciones de los pilares. También considera que se producen rótulas plásticas en la mitad de los pilares y vigas excepto en la planta baja, que considera que se forma a dos tercios de su altura.

Método del Pórtico

Adopta la hipótesis de que en cada nivel, el esfuerzo cortante se reparte entre todos los pilares que en él se encuentran, proporcionalmente al ámbito de carga de cada uno de ellos.

Esfuerzo Cortante en Vigas de Hormigón Armado

Esfuerzo Cortante Resistido por las Armaduras Transversales

El número de armaduras transversales que cosen cada fisura es:

n = (z/s)(cotg β + cotg c)

Siendo:

• s = separación horizontal entre los planos de armaduras transversales
• z = brazo mecánico = 0.9 d

El cortante resistido se obtiene proyectando verticalmente el esfuerzo total de las armaduras:

V_s = n.A_c.σ_c.sen c = n = (z/s)(cotg β.sen c + cos c) A_c.σ_c

Dominios de Deformación en Hormigón Armado

Dominio 1 (D1)

• El esfuerzo de la sección será tracción simple o compuesta.
• El acero se deforma al máximo de su capacidad y el hormigón no trabaja aún.
• En caso de rotura de la sección será por deformación plástica de la armadura.

Dominio 2 (D2)

• El esfuerzo de la sección será flexión simple o compuesta.
• El acero trabaja al máximo de su capacidad y el hormigón depende de en qué zona del dominio se encuentre trabaja al máximo o no.
• En caso de rotura de la sección será por deformación plástica de la armadura.

Dominio 3 (D3)

• El esfuerzo de la sección será flexión simple o compuesta.
• El acero trabaja al máximo de su capacidad y el hormigón igual.
• En caso de rotura de la sección será por fractura frágil del hormigón.

Dominio 4 y 4a (D4/D4a)

• En Dominio 4: El esfuerzo de la sección será flexión simple o compuesta.
• En Dominio 4a: El esfuerzo de la sección será compresión compuesta.
• El hormigón trabaja al máximo de su capacidad pero el acero no.
• En caso de rotura de la sección será por fractura frágil del acero.

Dominio 5 (D5)

• El esfuerzo de la sección será compresión simple o compuesta.
• Ambos materiales trabajan a compresión pero no al máximo de sus posibilidades.
• En caso de rotura de la sección será por fractura frágil del hormigón.

Métodos de Cálculo

EULE (Ecuación Universal de la Línea Elástica)

EIy = EIy_o + EIθ_o.x… (Signos Arriba y horario negativo)

• Momentos (F(x-a)²/2!)
• Carga (f(x-a)³/3!)
• Rectángulo (f(x-a)⁴/4!)
• Triángulo (f(x-a)⁵/5!)

Pte-def (Pendiente-Deformación)

1. M_ab = m_ab + K_ab(θ_a + 0.5θ_b – 3Δ/2L)
2. Equilibrio de nudos
3. Sumatoria de momentos (+) y fuerzas

Cross (Método de Cross)

1. Rigidez K = I/L o K = 3I/4L
2. Momentos de empotramiento perfecto (MEP)
3. Coeficiente de reparto C_ca = k_ca / Σk_c
4. Cross cargas
5. Posibilidad de desplazamiento
6. Desplazamiento R_f
7. Momentos (+) desplazamiento = 10
8. Coeficiente
9. Cross desplazamiento
10. Desplazamiento R’_f
11. Coeficiente de corrección
12. Momentos finales

Simplificaciones

Simétrica

• Corte longitudinal: El corte de la viga se queda empotrado (K)
• Corte transversal: El corte de la viga se queda libre (0.5K)

Antimétrica

• Corte longitudinal: El corte mantiene la viga (0.5M) (0.5K)
• Corte transversal: El corte de la viga se queda libre (1.5K)

Método Matricial

1. Matriz de rigidez (incluido matriz de transformación)
2. Desplazamientos de la estructura
3. Matriz de ensamblaje de desplazamientos y reacciones (suma de matrices de rigidez)
4. Desplazamientos F(fuerzas nudo) = K.d + F_ef(fuerzas exteriores fijación)
5. Reacciones
6. Esfuerzos en barras

Cálculo en Hormigón Armado

Flexión Simple

1. Mayoramos cargas y minoramos resistencias (M_d = M_k.γ) (f_cd = f_ck/γ_c) (f_yd = f_yk/γ_s) en N/mm²
2. Momento límite M_lim = (f_cd.b.y_lim)(d – 0.5y_lim) y_lim = 0.8(d / 1 + (f_yd/700))
3. Comparar:
   • M_d < M_lim → A₂?
   • M_d = M_lim + U₂(d – d₂) U₁ = (f_cd.b.y_lim) + U₂
4. Comprobamos cuantías mínimas:
   • A₁ = b400s 3.3%A
   • A₁ = b500s 2.8%A
   • A₂ = 30%A₁
5. Número de redondos (A₁ = U₁/f_yd) (nº = A₁ / (πd²/4))

Flexión Compuesta

1. Mayorar y minorar
2. Hallar excentricidad (e_o = M_d/N_d)
3. Grandes excentricidades:
   • M_do = (f_cd.b.y_lim)(d – 0.5y_lim) N_d.e
   • Caso a) N_d.e < M_do → A₂? (N_d.e – U₂(d – d₂) – M_do = 0) (N_d + U₁ – U₂ – (f_cd.b.y_lim) = 0)
4. Pequeñas excentricidades:
   • M_c2 = (f_cd.b.h)(h/2 – d₂) N_d.e₂
   • Caso a) M_c2 > N_d.e₂ → A₁ = 0 (-N_d.e₂ + (f_cd.b.y)(y/2 – d₂) = 0) (N_d – U₂ – (f_cd.b.y) = 0)
   • M_c2 < N_d.e₂

Esfuerzo Transversal

1. Comprobar agotamiento de las bielas (V_u1 = 0.3.f_cd.b.d) (V_rd1 = V_rdk.γ) V_rd1 < 0.02 cogemos 0.02 si hay varias A_s1 elijo la menor
2. Separación (V_su = (0.9.d/S₉₀)f_yd90.A_s90) A_s90 = nºramas(πd²/4) f_yd (en b500 = 400 en b400 = 347.82) solución S₉₀