Relaciones de Orden
Una relación de orden R en un conjunto A verifica las siguientes propiedades:
- Propiedad reflexiva: ∀a ∈ A, aRa
- Propiedad antisimétrica: Sean a, b ∈ A. Si aRb y bRa, entonces a = b.
- Propiedad transitiva: Sean a, b, c ∈ A. Si aRb y bRc, entonces aRc.
Orden Total
Un orden total cumple las propiedades anteriores y además relaciona cualquier par de elementos del conjunto:
∀a, b ∈ A se verifica que aRb o bRa.
Relaciones de Equivalencia
Una relación de equivalencia R en un conjunto A verifica las siguientes propiedades:
- Propiedad reflexiva: ∀a ∈ A, aRa
- Propiedad simétrica: Sean a, b ∈ A. Si aRb, entonces bRa.
- Propiedad transitiva: Sean a, b, c ∈ A. Si aRb y bRc, entonces aRc.
Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales
Núcleo de una Aplicación Lineal
El núcleo de una aplicación lineal f: E → E’ entre espacios vectoriales reales E y E’ es el conjunto de vectores de E que se mapean al vector cero de E’:
ker(f) = {e ∈ E : f(e) = 0E’}
Inyectividad y Núcleo
Una aplicación lineal f es inyectiva si y solo si su núcleo es trivial, es decir, Ker(f) = {0E}.
Polinomio Característico
El polinomio característico de una aplicación lineal f se define como el determinante de la matriz A – xI, donde A es cualquier matriz asociada a f e I es la matriz identidad.
Valores Propios y Raíces del Polinomio Característico
Si λ es un valor propio de f, entonces λ es una raíz de su polinomio característico.
Subespacios Vectoriales
Suma de Subespacios
Dados dos subespacios E1 y E2 de un espacio vectorial E, su suma E1 + E2 es el conjunto de todos los vectores que se pueden expresar como la suma de un vector de E1 y un vector de E2:
E1 + E2 = {e ∈ E : ∃e1 ∈ E1, e2 ∈ E2 tales que e = e1 + e2}
La suma de dos subespacios es también un subespacio.
Suma Directa
La suma de dos subespacios U y V de un espacio vectorial E es directa, denotada como E = U ⊕ V, si cada vector de E se puede escribir de manera única como la suma de un vector de U y un vector de V. Esto equivale a que U ∩ V = {0}.
Ejemplos de Relaciones de Orden
- Orden parcial: La relación»divide » en el conjunto de los enteros Z.
- Orden total: La relación»menor o igual qu» en el conjunto de los números reales R.
- Orden bueno: La relación»menor o igual qu» en el conjunto de los números naturales N.