REPRESENTACIÓN DE FOURIER

SENOIDES COMPLEJAS Y SISTEMAS LTI

Una entrada senoidal compleja a un sistema LTI genera una salida igual a la entrada senoidal multiplicada por la respuesta de frecuencia del sistema.

TIEMPO DISCRETO

X[n] = e^jWn

Y[n] = H(e^jW) e^jWn

La respuesta en frecuencia del sistema se define en términos de respuesta al impulso h(n) como:

H(e^jW) = S_k=-¥h(k) e^-jWk

TIEMPO CONTINUO

X(T) = e^jwt

Y(T) = H(jw) e^jwt

Donde H(jw) se define en términos de la respuesta al impulso h(T) como:

H(jw) = ò h(T) e^-jwt

REPRESENTACIÓN DE FOURIER PARA CUATRO CLASES DE SEÑALES

SEÑALES PERIÓDICAS

Representación mediante Serie de Fourier

Considere la representación gráfica de una señal periódica como una superposición de senoides complejas. Puesto que dicha superposición debe tener el mismo periodo que la señal, cada senoide debe tener también el mismo periodo de la señal. Esto implica que la frecuencia de cada senoide debe ser un múltiplo entero de la frecuencia fundamental de la señal.

Si x(n) es una señal en tiempo discreto con periodo fundamental N, entonces la representación mediante Serie de Fourier en Tiempo Discreto es:

X[n] = S_kx[k] e^jkW

Donde W = 2p/n

Si x(T) es una señal en tiempo continuo con periodo fundamental T, entonces su representación en Serie de Fourier es:

X(T) = S_kx(K)e^jkWoT

W = 2p/T -> frecuencia fundamental de x(T)

Para ambos casos, x[k] es el peso aplicado a la k-ésima senoide compleja. Con el fin de determinar estos pesos (coeficientes), debemos minimizar el error medio cuadrático entre la señal y su representación en serie.

X(T) = S_kx[k] e^jkWoT

ECM = 1/nS_nlx[n]-x[n]²

ORTOGONALIDAD DE SENOIDES COMPLEJAS

La ortogonalidad desempeña un papel fundamental en las representaciones de Fourier en la determinación de sus coeficientes.

Se dice que dos señales son ortogonales si su producto interno es 0.

SEÑALES NO PERIÓDICAS: TRANSFORMADA DE FOURIER (DTFT)

Para describir una señal no periódica, partiremos del cálculo del límite de una señal periódica cuyo periodo N se acerca a infinito y suponemos que la señal no periódica se representa mediante un periodo simple de la señal periódica que está centrado en el origen y el límite cuando N (periodo) se acerca a infinito se acerca de manera simétrica.

REPRESENTACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER (FT)

Se usa para representar una señal no periódica en tiempo continuo como una superposición de senoides complejas y esta superposición involucra un continuo de frecuencias que varía de -¥ a ¥. De este modo, la Transformada de Fourier involucra a una integral sobre la frecuencia como se indica:

X(t) = 1/2pò^¥x(jw) e^jwTdw

Donde

X(jw) = ò^¥x(T) ^-ejwTdt

MODULACIÓN

Es el proceso mediante el cual algunas características de una onda portadora se varían de acuerdo con la señal del mensaje.

La onda portadora se conoce como onda moduladora y la onda modulada es resultado del proceso de modulación.

Demodulación: se usa para recuperar la señal del mensaje a partir de la onda modulada.

TIPOS DE MODULACIÓN

Están determinadas por la forma de la onda portadora que se utiliza para efectuar la modulación.

1. Onda senoidal o modulación de onda continua.
2. Tren de pulsos periódicos o modulación de pulsos.

BENEFICIOS DE LA MODULACIÓN

1. Se usa para recorrer el contenido espectral de una señal de mensaje de modo que esta se encuentre dentro de la banda de frecuencia de operación de un canal de comunicación.
2. Brinda un mecanismo para poner el contenido de información de una señal del mensaje en una forma que puede ser menos vulnerable al ruido o la interferencia.
3. Permite el uso del multiplexaje (permite transmisión simultánea de señales que lleva información de varias fuentes independientes por el canal y hacia sus respectivos destinos).

MODULACIÓN POR AMPLITUD DE PULSOS

La operación básica de este tipo de modulación es el muestreo y es una forma de modulación de pulsos en la cual la amplitud de la onda portadora de pulsos varía de acuerdo con valores instantáneos de la muestra de la señal del mensaje.

TÉRMINOS RELACIONADOS CON EL MUESTREO

• Wm: es la velocidad máxima y es la misma frecuencia de la señal.
• Fm: es la frecuencia máxima y está definida como Wm/2p.
• Fs: es la frecuencia de muestreo y debe ser Fs > Fm.
• T = 1/Fs.

FILTROS PASO BAJAS

Tienen frecuencia de corte igual a la componente de frecuencia más alta (Wn) de la señal del mensaje.

ECUALIZADOR

Corrige el efecto de abertura debido al muestreo plano, disminuye la pérdida de banda interna del filtro cuando la frecuencia aumenta para compensar el efecto de abertura.

TRANSMISIÓN SIMULTÁNEA DE MENSAJES: MULTIPLEXAJE

El multiplexaje puede conseguirse separando diferentes señales del mensaje ya sea en frecuencia o el tiempo o mediante el uso de técnicas de codificación. Existen 3 tipos:

1. Por división de frecuencia: aquí las señales se separan asignándoles diferentes bandas de frecuencia.
2. Por división de tiempo: las señales se separan asignándoles diferentes intervalos de tiempo dentro de un intervalo de muestreo.
3. Por división de código: se fundamenta en la asignación de diferentes códigos a los usuarios del canal.

SISTEMAS

Es una combinación de componentes que actúan conjuntamente y cumplen determinado objetivo.

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS

SISTEMAS LINEALES

Un sistema en el que se aplica el principio de superposición se denomina lineal. El principio de superposición establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones excitadoras distintas, es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto, para sistemas lineales la respuesta a diversas entradas se puede calcular tratando una entrada a la vez y añadiendo o sumando los resultados.

SISTEMAS NO LINEALES

Un sistema es no lineal si no se le aplica el principio de superposición. Así, para un sistema no lineal, no se puede calcular la respuesta a dos entradas determinando una a la vez y sumando los resultados.

SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO

Una ecuación diferencial es lineal si los coeficientes (parámetros) son constantes o funciones de la variable independiente exclusivamente. Los sistemas dinámicos que son lineales y están constituidos por componentes concentrados lineales e invariantes en el tiempo reciben el nombre de sistemas lineales en el tiempo.

SISTEMAS LINEALES VARIABLES EN EL TIEMPO

Los sistemas representados por ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo. Ejemplo: Sistema de control de un vehículo espacial (la masa se modifica debido al consumo del combustible).

SISTEMAS DE PARÁMETROS CONCENTRADOS

Pueden describirse mediante EDO.

SISTEMAS DE PARÁMETROS DISTRIBUIDOS

Pueden describirse mediante EDP con parámetros distribuidos.

SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO

SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO

SISTEMAS CAUSALES

Es aquel que es no anticipativo, esto es, que las salidas dependen de entradas presentes y pasadas, pero no de entradas futuras. Ejemplo: sistema en tiempo real.

SISTEMAS NO CAUSALES

: es aquel que depende de valores futura de las entradas para determinar la salida.

SISTEMAS DE CONTROL: es una interconexión de componentes que forman una configuración del sistema que proporcionara una respuesta deseada.

Clasificacion de los sistemas de control

1)Sistema de control en lazo abierto: utiliza un dispositivo de actuación para controlar el proceso directamente sin emplear realimentación {Entrada)—(Proceso)—-(Salida)

2) Sistema de control en lazo cerrado: usa una medida de la salida y la realimentación de esta señal para comprarla con la salda deseada (referencia u orden).

Resp de salida——–(Comparacion)——(Controlado)—-(Proceso)————Salida

                           l                  (Medida)