1. Circunferencias tangentes a una recta r que pasen por dos puntos P y Q
Todas las circunferencias que pasan por P y Q tienen su centro en la mediatriz del segmento que determinan, y como eje radical, la recta PQ. El eje radical de una circunferencia y una recta es la propia recta. El punto de intersección entre las rectas PQ y r, es el centro radical, Cr, de las circunferencias que pasan por los puntos P y Q, entre las que se hallan las soluciones que se buscan. Trazamos una circunferencia auxiliar de centro O en la mediatriz y que pase por los puntos P y Q. Desde Cr trazamos la tangente Cr-T a la circunferencia auxiliar. Este segmento, Cr-T, es la longitud de las tangentes trazadas desde Cr a todas las circunferencias del haz. Con centro en Cr y radio Cr-T trazamos una semicircunferencia que corta a la recta r en los puntos T1 y T2, que son los puntos de tangencia con la recta r. Trazamos las perpendiculares a r por los puntos T1 y T2, obteniendo en la mediatriz los centros O1 y O2, de las circunferencias solución.
2. Circunferencias que pasen por un punto P y sean tangentes a dos rectas r y s que se cortan
Trazamos la bisectriz del ángulo que forman las rectas r y s. Trazamos por P la perpendicular a la bisectriz y obtenemos el punto simétrico de P. Con estas operaciones, el problema se convierte en el del caso anterior (1).
3. Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas r1 y s1 que se cortan y a una circunferencia interior a ellas de centro P
Calculando el punto Q, simétrico de P respecto de la bisectriz común de los ángulos que forman las rectas r1 y s1, y las rectas r y s, se trata ahora de trazar las circunferencias tangentes a la recta r y que pasan por los puntos P y Q. Se determina el centro radical Cr, del haz de circunferencias que pasan por P y Q y de la recta r. Con la circunferencia auxiliar de centro E, que pasa por los puntos P y Q, se calcula la raíz cuadrada de k. Por los puntos T3 y T4 de r, que distan la raíz cuadrada de k de Cr, se trazan las perpendiculares a esta recta que cortan a la bisectriz en los puntos O3 y O4. Las circunferencias con centros en estos puntos y que pasan por P y Q son tangentes a las rectas r y s. Los radios de las circunferencias solución de centros en O3 y O4 resultan de restar a los de las anteriores la magnitud R de la dilatación.
4. Trazar las circunferencias tangentes a otra de centro C y que pasan por dos puntos P y Q
Trazamos la circunferencia auxiliar de centro E que pasa por los puntos P y Q y corta a la dada de centro C en los puntos A y B. El punto Cr, donde se cortan las rectas PQ y AB, es el centro radical de las circunferencias del haz que pasan por P y Q y la dada de centro C. En consecuencia, la potencia del punto Cr respecto de todas ellas es la misma, y la longitud del segmento es la raíz cuadrada de K. Las rectas tangentes desde Cr a la circunferencia dada tienen como puntos de tangencia T1 y T2, luego estos son los puntos comunes de las circunferencias solución con la dada. Los centros de las soluciones O1 y O2 se hallan, respectivamente, donde las rectas T1C y T2C cortan a la mediatriz del segmento PQ.
5. Trazar las circunferencias tangentes a otra de centro C y a una recta r conociendo el punto de tangencia Tc en aquella
El centro radical de este haz de circunferencias y la recta r, es Cr, punto de intersección de las rectas e y r. El segmento raíz cuadrada de K, raíz cuadrada de la potencia de C respecto de todas las circunferencias del haz, es igual a Cr-Tc. Por tanto, llevando sobre la recta r el segmento raíz cuadrada de K a ambos lados de Cr, se obtienen los puntos de tangencia T1 y T2 de r con las circunferencias solución. Trazando las perpendiculares a r por los puntos T1 y T2 se obtienen, en su intersección con la recta CTc, los centros O1 y O2 de las soluciones.
6. Trazar las circunferencias tangentes a otra de centro C y a una recta r conociendo el punto Tr en esta
El centro radical de las circunferencias del haz de la dada de centro C y de la recta r, es Cr, punto de intersección del eje radical e con la recta r. Llevando sobre la circunferencia dada de centro C, desde Cr, la distancia CrTr= raíz cuadrada de K, se obtienen los puntos de tangencia T1 y T2 de las soluciones con la circunferencia dada. Los centros O1 y O2 de las soluciones se obtienen en la intersección de CT1 y CT2 con la perpendicular a la recta r por el punto Tr.
7. Trazar las circunferencias tangentes a otras dos de centros O1 y O2 conociendo el punto de tangencia T en una de ellas
Trazamos una circunferencia auxiliar que sea tangente en el punto T a la circunferencia de centro O1 y secante a la otra circunferencia. De esta manera obtenemos dos ejes radicales: el Er1, que es tangente a O1 por el punto T, y el Er2, determinado por los puntos de intersección de la circunferencia auxiliar y la de centro O2.