Resolución de Problemas Matemáticos: Ecuaciones y Sistemas

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Problema 1

Busca dos números tales que la suma del doble del mayor con la mitad del menor sea menos de 150, y sabiendo que cuatro veces el menor supera en 22 unidades al triple del mayor.

Solución:

  • 1º (mayor): x
  • 2º (menor): y

Sistema de ecuaciones:

  • 2x + y/2 = 150
  • 4y = 3x + 22

Resolución por sustitución:

  1. 4x + y = 300
  2. y = (3x + 22) / 4
  3. 4x + (3x + 22) / 4 = 300
  4. 16x + 3x + 22 = 1200
  5. 19x = 1200 – 22
  6. x = 1178 / 19
  7. x = 62
  8. y = (3 * 62 + 22) / 4 = (186 + 22) / 4 = 208 / 4
  9. y = 52

Respuesta:

  • El número mayor es 62.
  • El número menor es 52.

Problema 2

En una feria de ganado hemos comprado 3 potros y 5 corderos por 1375$, mientras que un vecino ha adquirido 1 potro y 8 corderos por 680$. Calcula el precio de cada animal.

Solución:

  • Potros: x
  • Corderos: y

Sistema de ecuaciones:

  • 3x + 5y = 1375
  • x + 8y = 680

Resolución:

  1. x = 680 – 8y
  2. 3(680 – 8y) + 5y = 1375
  3. 2040 – 24y + 5y = 1375
  4. -19y = 1375 – 2040
  5. -19y = -665
  6. y = 35
  7. x = (1375 – 5 * 35) / 3 = (1375 – 175) / 3 = 400

Respuesta:

  • Cada potro cuesta 400$.
  • Cada cordero cuesta 35$.

Problema 3

La suma de dos números es 243. ¿Qué números son si uno es el doble que el otro?

Solución:

  • Mayor: x
  • Menor: y

Sistema de ecuaciones:

  • x + y = 243
  • x = 2y

Resolución:

  1. 2y + y = 243
  2. 3y = 243
  3. y = 243 / 3
  4. y = 81
  5. x = 2 * 81 = 162

Respuesta:

  • Los números son 162 y 81.

Problema 4

Un canicultor vende los canarios a 40$ cada uno y las canarias a 15$, contabilizando una venta de 1475$. Si las canarias exceden en 5 al doble de los canarios, ¿cuántos canarios y canarias vendió?

Solución:

  • Número de canarios: x
  • Número de canarias: y

Sistema de ecuaciones:

  • 40x + 15y = 1475
  • y = 2x + 5

Resolución por sustitución:

  1. 40x + 15(2x + 5) = 1475
  2. 40x + 30x + 75 = 1475
  3. 70x = 1475 – 75
  4. 70x = 1400
  5. x = 1400 / 70
  6. x = 20
  7. y = 2 * 20 + 5 = 45

Respuesta:

  • Vendió 20 canarios y 45 canarias.

Problema 5

Los 3/5 de un número es igual a la mitad del otro, teniendo en cuenta que el doble del primer número supera en 40 unidades al segundo.

Solución:

  • 1º número: x
  • 2º número: y

Sistema de ecuaciones:

  • (3x) / 5 = y / 2
  • 2x = y + 40

Resolución:

  1. x = (y + 40) / 2
  2. (3 ((y + 40) / 2)) / 5 = y* / 2
  3. (3y + 120) / 10 = y / 2
  4. 6y + 240 = 10y
  5. -4y = -240
  6. y = 60
  7. x = (60 + 40) / 2 = 50

Respuesta:

  • Los números son 50 y 60.

Problema 6

Un comerciante compra manzanas Golden y Reineta por 141$. El precio de las primeras es de 0.75$/kg, en tanto que las segundas valen 1.20$/kg. Si la cantidad de manzanas Golden son las 3/4 partes de las de Reineta, ¿cuántos kilogramos de cada tipo compró?

Solución:

  • Manzanas Golden: x
  • Manzanas Reineta: y

Sistema de ecuaciones:

  • 0.75x + 1.20y = 141
  • x = (3y) / 4

Resolución:

  1. 75x + 120y = 14100 (multiplicando por 100 para eliminar decimales)
  2. 4x = 3y
  3. x = (3 * 80) / 4 = 60
  4. 75 60 + 120y* = 14100
  5. 4500 + 120y = 14100
  6. 120y = 9600
  7. y = 80

Respuesta:

  • Compró 60 kg de manzanas Golden y 80 kg de manzanas Reineta.

Problema 7

El doble de la edad de Juan más la de su hermano Pedro dan los 44 años de su padre. Si dentro de dos años la edad de Juan será el doble que la de Pedro, ¿cuántos años tienen ahora?

Solución:

  • Edad de Juan: x
  • Edad de Pedro: y

Sistema de ecuaciones:

  • 2x + y = 44
  • x + 2 = 2(y + 2)

Resolución por reducción:

  1. 2x + y = 44
  2. x + 2 = 2y + 4 => x – 2y = 2
  3. 2x + y = 44
  4. -2(x – 2y) = -2 2 => -2x + 4y* = -4
  5. (2x + y) + (-2x + 4y) = 44 – 4
  6. 5y = 40
  7. y = 8
  8. x = (44 – 8) / 2 = 18

Respuesta:

  • Juan tiene 18 años y Pedro tiene 8 años.

Problema 8

Dos investigadores tienen 48 ratones blancos para experimentar. Si uno le cede dos ratones al otro, este tendrá el doble de animales que aquel.

Solución:

  • Ratones del 1º investigador: x
  • Ratones del 2º investigador: y

Sistema de ecuaciones:

  • x + y = 48
  • y + 2 = 2(x – 2)

Resolución por reducción:

  1. x + y = 48
  2. y + 2 = 2x – 4 => -2x + y = -6
  3. 2(x + y) = 2 48 => 2x + 2y* = 96
  4. (2x + 2y) + (-2x + y) = 96 – 6
  5. 3y = 90
  6. y = 30
  7. x = 48 – 30 = 18

Respuesta:

  • El primer investigador tiene 18 ratones y el segundo tiene 30 ratones.

Problema 9

La edad de Pedro más el doble de la de su hijo suman 120 años. Hace 5 años la edad del padre era el triple de la del hijo.

Solución:

  • Edad del padre: x
  • Edad del hijo: y

Sistema de ecuaciones:

  • x + 2y = 120
  • x – 5 = 3(y – 5)

Resolución:

  1. x – 5 = 3y – 15
  2. x = 3y – 10
  3. (3y – 10) + 2y = 120
  4. 5y = 130
  5. y = 26
  6. x = 120 – 2 * 26 = 68

Respuesta:

  • El padre tiene 68 años y el hijo tiene 26 años.

Problema 10

En un taller hay vehículos de 4 y 6 ruedas. Si se disminuyera en 2 el número de vehículos de 6 ruedas, habría el doble del número de estos que de 4 ruedas.

Solución:

  • Coches de 4 ruedas: x
  • Coches de 6 ruedas: y

Sistema de ecuaciones:

  • 4x + 6y = 156 (se asume que el total de ruedas es 156, dato faltante en el enunciado original)
  • y – 2 = 2x

Resolución por reducción:

  1. 4x + 6y = 156
  2. 2x – y = -2
  3. 4x + 6y = 156
  4. -2(2x – y) = -2 -2 => -4x + 2y* = 4
  5. (4x + 6y) + (-4x + 2y) = 156 + 4
  6. 8y = 160
  7. y = 20
  8. x = (y – 2) / 2 = (20 – 2) / 2 = 9

Respuesta:

  • Hay 9 vehículos de 4 ruedas y 20 vehículos de 6 ruedas.

Problema 11

En una granja hay cerdos y gallinas, sumando el total de patas 4280. Si disminuimos en 70 el número de cerdos, el número de gallinas será el triple que estos.

Solución:

  • Cerdos: x
  • Gallinas: y

Sistema de ecuaciones:

  • 4x + 2y = 4280
  • 3(x – 70) = y

Resolución por reducción:

  1. 4x + 2y = 4280
  2. 3x – y = 210
  3. 4x + 2y = 4280
  4. 2(3x – y) = 2 210 => 6x – 2y* = 420
  5. (4x + 2y) + (6x – 2y) = 4280 + 420
  6. 10x = 4700
  7. x = 470
  8. y = 3 * (470 – 70) = 1200

Respuesta:

  • Hay 470 cerdos y 1200 gallinas.

Problema 12

Dos terrenos que tienen forma de polígonos regulares miden 90 y 60 metros de lado, respectivamente. La suma de sus perímetros es de 1320 m. ¿Cuántos lados tiene cada terreno si uno de ellos tiene 3 lados más que el otro?

Solución:

  • Lados del polígono de 90 m: x
  • Lados del polígono de 60 m: y

Sistema de ecuaciones:

  • 90x + 60y = 1320
  • x – 3 = y

Resolución:

  1. 90x + 60y = 1320
  2. x = y + 3
  3. 90(y + 3) + 60y = 1320
  4. 90y + 270 + 60y = 1320
  5. 150y = 1050
  6. y = 7
  7. x = 7 + 3 = 10

Respuesta:

  • El terreno de 90 m de lado tiene 10 lados y el de 60 m tiene 7 lados.

Problema 13

En un partido de fútbol se recaudan 76225$. Las mujeres y los niños pagaron 3$ cada uno y los hombres 7$. Sabiendo que el número de hombres excede en 1711 al triple de mujeres y niños, ¿cuántas mujeres, niños y hombres asistieron?

Solución:

  • Mujeres y niños: x
  • Hombres: y

Sistema de ecuaciones:

  • 3x + 7y = 76225
  • y = 3x + 1711

Resolución:

  1. 3x + 7(3x + 1711) = 76225
  2. 3x + 21x + 11977 = 76225
  3. 24x = 76225 – 11977
  4. 24x = 64248
  5. x = 2677
  6. y = 3 * 2677 + 1711 = 9742

Respuesta:

  • Asistieron 2677 mujeres y niños, y 9742 hombres.

Problema 14

Halla dos números tales que la tercera parte del mayor sea el doble del número anterior al menor, y que la diferencia entre el mayor y el cuádruple del menor sea 8.

Solución:

  • Mayor: x
  • Menor: y

Sistema de ecuaciones:

  • x/3 = 2(y – 1)
  • x – 4y = 8

Resolución por igualación:

  1. x = 6y – 6
  2. x = 8 + 4y
  3. 6y – 6 = 8 + 4y
  4. 2y = 14
  5. y = 7
  6. x = 8 + 4 * 7 = 36

Respuesta:

  • Los números son 36 y 7.

Problema 15

Dos amigos tienen 48$. Si uno le da 2$ al otro, este tendrá el doble que el primero.

Solución:

  • Dinero del primer amigo: x
  • Dinero del segundo amigo: y

Sistema de ecuaciones:

  • x + y = 48
  • y + 2 = 2(x – 2)

Resolución por igualación:

  1. x + y = 48
  2. y + 2 = 2x – 4 => -2x + y = -6

(Nota: Este problema no se ha resuelto completamente en el documento original. Se deja planteado el sistema de ecuaciones para su resolución.)

Problema 16

Por 7 camisas y 5 pañuelos hemos pagado 36.25$. Si cada pañuelo cuesta 4.25$ más que una camisa, ¿cuánto vale cada cosa?

Solución:

  • Camisas: x
  • Pañuelos: y

Sistema de ecuaciones:

  • 7x + 5y = 36.25
  • y = 4.25 + x

(Nota: Este problema no se ha resuelto completamente en el documento original. Se deja planteado el sistema de ecuaciones para su resolución.)

Problema 17

Si sumamos dos números con el anterior al mayor nos da 419. Si el doble del mayor es 5 veces el menor, ¿cuáles son los números?

Solución:

  • Mayor: x
  • Menor: y

Sistema de ecuaciones:

  • x + y + (x – 1) = 419
  • 2x = 5y

Resolución por reducción:

  1. 2x + y = 420
  2. 2x – 5y = 0

(Nota: Este problema no se ha resuelto completamente en el documento original. Se deja planteado el sistema de ecuaciones para su resolución.)

Problema 18

Averigua el precio de un móvil y un PC sabiendo que si pago 1100$ puedo comprar 5 móviles y 2 PC, o bien 2 móviles y 3 PC.

Solución:

  • Móvil: x
  • PC: y

Sistema de ecuaciones:

  • 5x + 2y = 1100
  • 2x + 3y = 1100

Resolución por igualación:

  1. y = (1100 – 5x) / 2
  2. y = (1100 – 2x) / 3

(Nota: Este problema no se ha resuelto completamente en el documento original. Se deja planteado el sistema de ecuaciones para su resolución.)

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