Ejercicios Resueltos de Modelos de Regresión

Ejercicio 1: Error de Especificación

Pregunta: ¿Existe error de especificación en el modelo? Desarrolle el test correspondiente.

Solución:

Para determinar si existe un error de especificación, se realiza un contraste de hipótesis. Se construye la función a partir de la tabla de contraste, utilizando el coeficiente de yhat (ŷ) y su desviación típica. Se compara el p-valor resultante con un nivel de significancia de 0.05.

• Si el p-valor < 0.05, se rechaza la hipótesis nula de no error de especificación.
• Si el p-valor ≥ 0.05, no se rechaza la hipótesis nula.

Ejercicio 2: Normalidad de las Perturbaciones

Pregunta: ¿Son normales las perturbaciones del modelo? Desarrolle el test correspondiente.

Solución:

Se utiliza el test de Jarque-Bera (JB) para contrastar la normalidad de las perturbaciones. El estadístico JB y su p-valor se obtienen directamente del software estadístico (contraste 2 en la imagen).

• Si el p-valor < 0.05, se rechaza la hipótesis nula de normalidad.
• Si el p-valor ≥ 0.05, no se rechaza la hipótesis nula.

Ejercicio 3: Perturbaciones Esféricas

Pregunta: ¿Son esféricas las perturbaciones del modelo? Desarrolle el test correspondiente. (χ²_{1; 0.05} = 3.84; χ²_{2; 0.05} = 5.99; χ²_{3; 0.05} = 7.81)

Solución:

Se utiliza el test de Breusch-Pagan-Godfrey (BPG) para contrastar la homocedasticidad (una de las condiciones para que las perturbaciones sean esféricas). El estadístico de contraste (T) se calcula a partir del R² de una regresión auxiliar (29 en la imagen). Se compara el estadístico BPG con el valor crítico de la distribución χ² con los grados de libertad correspondientes.

Ejercicio 4: Interpretación de Coeficientes

Pregunta: Interprete los coeficientes estimados de las variables independientes relevantes o explicativas.

Solución: La interpretación de los coeficientes se realiza en el contexto del modelo y las variables específicas. Cada coeficiente indica el cambio esperado en la variable dependiente por cada unidad de cambio en la variable independiente, manteniendo las demás variables constantes. Es crucial considerar la significancia estadística de cada coeficiente (p-valor).

Ejercicio 5: Modelo Poblacional y Coeficientes Específicos

Pregunta: Escriba el modelo poblacional e interprete los coeficientes estimados correspondientes a «power» y «diesel».

Solución: Se debe escribir la ecuación del modelo poblacional, incluyendo todas las variables y sus coeficientes. La interpretación de «power» y «diesel» se centra en el efecto específico de estas variables sobre la variable dependiente.

Ejercicio 6: Coeficiente de Determinación y Suma de Cuadrados de Residuos

Pregunta: Interprete el resultado del Coeficiente de Determinación (R cuadrado) y calcule la Suma de Cuadrados de Residuos.

Solución:

El R² indica la proporción de la varianza de la variable dependiente que es explicada por el modelo. La Suma de Cuadrados de Residuos (SCR) se calcula utilizando la fórmula: SCR = (Desviación Típica de la Regresión)² * (n – k), donde ‘n’ es el número de observaciones y ‘k’ es el número de variables (incluyendo la constante).

Ejercicio 7: Conclusión sobre el Modelo 1

Pregunta: ¿Qué conclusión obtendría sobre el modelo 1 con la siguiente información?

Solución: Se realiza un contraste de restricciones lineales (RA) incluyendo todos los coeficientes. ‘q’ representa el número de restricciones (variables sin incluir la constante). Se compara el estadístico resultante con un valor crítico de la distribución χ² con ‘q’ grados de libertad. W₀ se calcula como (1 – R²) multiplicado por el número de observaciones.

Ejercicio 8: Métodos de Estimación

Pregunta: Indique y justifique el método o métodos de estimación utilizados.

Solución: Se debe identificar el método de estimación (por ejemplo, Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO), Máxima Verosimilitud (MV), etc.) y justificar su uso basándose en las características del modelo y los datos.

Ejercicio 9: Variables Explicativas Individuales

Pregunta: ¿Son explicativas, de forma independiente, las variables «power», «kms» y «edad»?

Solución: Se realiza un contraste de significatividad individual para cada variable. Se divide el coeficiente estimado entre su desviación típica y se compara el resultado (estadístico t) con un valor crítico de la distribución t de Student.

Ejercicio 10: Variables Explicativas Conjuntas

Pregunta: ¿Son explicativas, de forma conjunta, las variables «kms» y «edad»? En un modelo sin estas dos variables se ha obtenido LnL = -162663.2.

Solución: Se utiliza el estadístico de Log-verosimilitud (LnL) para realizar un contraste de significatividad conjunta. Se compara el LnL del modelo completo con el LnL del modelo restringido (sin «kms» y «edad»).

Ejercicio 11: Predicción del Precio de Venta

Pregunta: ¿Qué precio de venta se espera para un coche de segunda mano con 100 caballos de potencia, 5 puertas, de gasolina, 10000 kilómetros y 10 años de antigüedad?

Solución: Se sustituyen los valores dados en la ecuación del modelo estimado para obtener la predicción del precio.

Ejercicio 12: Caso del PIB – Regresión Auxiliar

Pregunta: Para el Modelo 1 se ha estimado la siguiente regresión auxiliar. ¿Qué conclusión puede sacarse sobre el modelo original?

Solución: Se analiza la regresión auxiliar para identificar posibles problemas en el modelo original, como multicolinealidad o heterocedasticidad. T = 87 y R² = 0.62 son los valores relevantes.

Ejercicio 13: Método de Estimación – Newey-West

Pregunta: ¿Qué método de estimación se ha utilizado? Explique el motivo para hacerlo y las propiedades del mismo.

Solución: Se ha utilizado la estimación de Newey-West. Este método se emplea para obtener estimadores robustos a la autocorrelación y heterocedasticidad en los errores. Los coeficientes estimados son consistentes y las desviaciones típicas son válidas, incluso en presencia de autocorrelación.

Ejercicio 14: Influencia Individual del Consumo y las Exportaciones

Pregunta: Indique si el consumo y las exportaciones influyen de forma individual en el número de ocupados, desarrollando los contrates correspondientes.

Solución: Se realizan contrastes de significatividad individual (similar al Ejercicio 9) para las variables de consumo y exportaciones.

Ejercicio 15: Significatividad Conjunta – Coste Laboral y Número de Activos

Pregunta: A continuación, se añade información sobre el coste laboral medio (euros/mes por trabajador) y el número de activos (miles de personas). Con los resultados del Modelo 3, indique si estas dos variables son significativas de forma conjunta.

Solución: Se realiza un contraste de significatividad conjunta (similar al Ejercicio 10) utilizando los valores de LnL del modelo 2 (LnLcr) y del modelo 3 (LnLsr).

Ejercicio 16: Contraste y Conclusiones sobre el Modelo 3

Pregunta: Desarrolle el contraste con la información que aparece a continuación y explique qué conclusiones sacaría sobre el Modelo 3.

Solución: Se debe desarrollar el contraste especificado en la imagen y extraer conclusiones sobre la validez o adecuación del Modelo 3.

Ejercicio 17: Selección del Modelo Más Adecuado

Pregunta: Entre los modelos del 1 al 3 escoja razonadamente el que le parezca más adecuado para estudiar los determinantes del empleo, e interprete en él los resultados del R-cuadrado y la D.T. de la regresión.

Solución: Se debe justificar la elección del modelo basándose en criterios estadísticos (significatividad, R², etc.) y teóricos. Se interpreta el R² (proporción de varianza explicada) y la Desviación Típica de la regresión (medida de la dispersión de los residuos).

Ejercicio 18: Modelo Poblacional (2) y Linealidad del Consumo de Tabaco

Pregunta: Escriba el modelo poblacional (2) que se ha estimado. ¿El consumo de tabaco es lineal o parabólico con respecto al precio de la cajetilla? Aplique el test correspondiente e indique qué modelo considera más adecuado.

Solución: Se escribe la ecuación del modelo poblacional (2). Para determinar si la relación es lineal o parabólica, se examina si el coeficiente del término cuadrático del precio es significativamente diferente de cero (contraste t).

Ejercicio 19: Interpretación del Coeficiente – Porcentaje de Universitarios

Pregunta: Interprete el coeficiente estimado para la variable porcentaje de universitarios de 20 a 24 años. ¿Es explicativa del consumo de tabaco? Responda aplicando un test. (t_{n-k; 0.025} = 2.07; indique cuánto vale n-k)

Solución: Se interpreta el coeficiente en términos del efecto del porcentaje de universitarios sobre el consumo de tabaco. Se realiza un contraste t para determinar la significatividad estadística de la variable. ‘n-k’ representa los grados de libertad (número de observaciones menos número de parámetros estimados).

Ejercicio 20: Gasto en Prevención Antitabaco

Pregunta: ¿Diría que el gasto realizado en prevención antitabaco ha reducido el consumo de tabaco? Justifíquelo mediante el correspondiente test, sabiendo que una variante del modelo 2 excluyendo esta variable obtiene como resultado SCR = 31.4870. (χ²_{1; 0.05} = 3.84; χ²_{1; 0.025} = 5.02)

Solución: Se realiza un contraste de hipótesis comparando el SCR del modelo completo con el SCR del modelo sin la variable de gasto en prevención. Se utiliza la distribución χ².

Ejercicio 21: Modelo Poblacional 1 e Interpretación

Pregunta Escriba el Modelo poblacional 1 e interprete el valor de los coeficientes estimados para las variables de precio y renta.

Se escribe la ecuación del modelo y se interpretan los coeficientes de precio y renta en términos de su efecto sobre la variable dependiente.

Ejercicio 22: Elección del Modelo y Cálculo de la Elasticidad

Pregunta: Escoja el modelo más apropiado para estudiar el fenómeno, justificando su elección. Utilícelo para calcular e interpretar la elasticidad media del consumo con respecto al precio (precio medio = 2.4614). ¿Concuerda la elasticidad estimada con lo esperado?

Solución: Se justifica la elección del modelo. La elasticidad precio de la demanda se calcula utilizando la fórmula apropiada y el valor del precio medio. Se interpreta el valor de la elasticidad y se discute si es consistente con la teoría económica.