Regla de Cramer
Para calcular sistemas de ecuaciones 3×3 usando la Regla de Cramer, es necesario seguir estos pasos:
1. Convertir el sistema de ecuaciones a la matriz de coeficientes:
» alt=»Matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones 3×3″>
2. Calcular los determinantes:
Se necesitan cuatro determinantes:
Determinante del sistema (D) = Det (A)
Determinante de X (Dx) = Det (A1)
Determinante de Y (Dy) = Det (A2)
Determinante de Z (Dz) = Det (A3)
Para obtener el determinante del sistema, se toma la matriz y se le añaden dos filas más con los coeficientes de las primeras dos filas. Luego, se multiplican las diagonales.
» alt=»Cálculo del determinante del sistema»>
= [-1 + 6 + 4] – [-1 – 6 – 4]
= [9] – [-11]
= 9 + 11
= 20
3. Calcular los determinantes de las variables:
» alt=»Matriz para calcular el determinante de X»>
Para el determinante de X (Dx), se reemplazan los coeficientes de la columna de X por los términos independientes:
» alt=»Cálculo del determinante de X»>
Dx = [-5 – 3 + 0] – [0 – 30 + 2]
Dx = [-8] – [-28]
Dx = -8 + 28
Dx = 20
» alt=»Matriz para calcular el determinante de Y»>
Para el determinante de Y (Dy), se reemplazan los coeficientes de la columna de Y por los términos independientes:
» alt=»Cálculo del determinante de Y»>
Dy = [-1 + 0 – 10] – [-1 + 0 + 10]
Dy = [-11] – [9]
Dy = -11 – 9
Dy = -20
» alt=»Matriz para calcular el determinante de Z»>
Para el determinante de Z (Dz), se reemplazan los coeficientes de la columna de Z por los términos independientes:
» alt=»Cálculo del determinante de Z»>
Dz = [0 + 30 + 2] – [-5 – 3 + 0]
Dz = [32] – [-8]
Dz = 32 + 8
Dz = 40
Utilizamos la fórmula:
» alt=»Fórmula de la Regla de Cramer»>
X = Dx / D = 20 / 20 = 1
Y = Dy / D = -20 / 20 = -1
Z = Dz / D = 40 / 20 = 2
Los valores de las variables son:
X = 1, Y = -1, Z = 2
Método de Gauss
Otro ejemplo:
x + z = 4
2x + y – z = 1
y – 2z = -5
Se transforma en:
( 1 0 1 | 4
2 1 -1 | 1
0 1 -2 | -5 )
Las reglas son:
1. Si los signos son iguales, se restan las filas.
2. Si los signos son diferentes, se suman las filas.
Volviendo al ejemplo:
( 1 -1 1 | 7
2 1 -1 | 2
3 1 -2 | 0 )
Para obtener un cero en lugar del 2 en la segunda fila, se realiza la operación F2 – 2 * F1:
Fila 2: ( 2 1 -1 2)
2 * Fila 1: ( 2 -2 2 14)
Restando: ( 0 3 -3 -12)
El sistema queda:
( 1 -1 1 | 7
0 3 -3 | -12
3 1 -2 | 0 )
Para obtener un cero en lugar del 3 en la tercera fila, se realiza la operación F3 – 3 * F1:
Fila 3: ( 3 1 -2 0)
3 * Fila 1: ( 3 -3 3 21)
Restando: ( 0 4 -5 -21)
El sistema queda:
( 1 -1 1 | 7
0 3 -3 | -12
0 4 -5 | -21 )
Método de Gauss (Continuación)
Para obtener un cero en lugar del 4 en la tercera fila, se usa la fila 2. Se busca tener el mismo número en ambas filas y luego se aplica la regla de los signos. La operación a realizar es 3 * F3 – 4 * F2:
3 * Fila 3: (0 12 -15 -63)
4 * Fila 2: (0 12 -12 -48)
Restando: (0 0 -3 -15)
El sistema queda:
( 1 -1 1 | 7
0 3 -3 | -12
0 0 -3 | -15 )
Ahora se resuelve el sistema de abajo hacia arriba:
-3z = -15; z = 5
3y – 3z = -12; 3y – 15 = -12; 3y = 3; y = 1
x – y + z = 7; x – 1 + 5 = 7; x = 3
Las soluciones son:
x = 3
y = 1
z = 5
Observaciones
1. Se pueden dividir filas por un número. Por ejemplo, F2 / 3:
( 1 -1 1 | 7
0 1 -1 | -4
0 0 -3 | -15 )
2. Se pueden cambiar filas. Esto es obligatorio cuando en la diagonal hay un cero. Por ejemplo, F2 ↔ F3:
( 1 -1 1 | 7
0 3 -3 | -15
0 0 -3 | -12 )