Introducción a la Simulación

Inicio de la Simulación: 1949 → Método de Monte Carlo (John Von Neumann, Stanislaw Ulam)

Simulación (Shannon, 1975): Proceso de diseñar un modelo de un sistema real y llevar a cabo experiencias con él, con la finalidad de aprender el comportamiento del sistema o de evaluar diversas estrategias para el funcionamiento del sistema.

Sistema, Modelo y Simulación

Sistema: Conjunto de objetos o ideas que están interrelacionadas entre sí como una unidad para la consecución de un fin. Forma parte de la vida real.

Modelo: Representación simplificada de un sistema. Es una abstracción del sistema.

Procedimientos de Obtención de Modelos

• Análisis teórico o método deductivo:
  Estudio cualitativo de los fenómenos que caracterizan el comportamiento del sistema.
  Relaciones matemáticas concretas → ecuaciones descriptivas del proceso.
• Análisis experimental o método inductivo:
  Construir un modelo matemático a partir de medidas realizadas sobre el sistema.
  Descripción detallada de cómo evoluciona a lo largo del tiempo.
  Observar el comportamiento del modelo.
  Llevar a cabo experiencias con él.

Simulación del Modelo

Objetivo: No conocer el sistema en sí, sino su comportamiento ante diversas situaciones.

Los modelos de simulación se hacen funcionar, no se resuelven.

Modelo de Simulación

1. Se definen los parámetros aleatorios.
2. Llegada de nueva maquinaria.
3. Avería.
   Gravedad de la avería.
4. Se simulan o muestrean los parámetros aleatorios.
5. Se recopilan los resultados.
6. Se detiene el proceso de muestreo.

¿Cuándo Conviene Utilizar la Simulación?

• Si no existe formulación matemática del modelo o métodos analíticos de resolución (sistemas complejos).
• Si existen, pero resulta más sencillo y barato simular.
• Si se desea experimentar con el sistema antes de su uso o construcción (simulador de vuelo).
• Es imposible experimentar sobre el sistema → Prevención de eventualidades.
• Razones éticas impiden la experimentación (sistemas biológicos humanos).
• Se desea reducir escalas de tiempo, pues la evolución del sistema es muy lenta (capa de ozono, políticas de talas de árboles).
• Permite estudiar sistemas dinámicos en tiempo real.

• Inconvenientes

  • La construcción del modelo puede ser compleja y costosa.
  • Es frecuente despreciar elementos o relaciones sin importancia aparente y obtener resultados falsos.
  • Es difícil establecer el grado de precisión de los resultados y su análisis.
  • No optimiza, sólo evalúa.

Tipos de Sistemas

• Estado de un sistema: Conjunto de variables necesarias para describir un sistema en un instante de tiempo y relativo a los objetivos de un estudio.
• Tipos de Sistemas:
  
  • Continuos: Las variables de estado cambian de forma continua con el tiempo.
  • Discretos: Las variables de estado cambian en ciertos instantes de tiempo.

Ejemplo Modelo Continuo: Presa-Depredador (Modelo Lotka-Volterra)

X(t): Número de individuos presa en el instante t.

Y(t): Número de individuos depredador en el instante t.

1. Tasa de crecimiento sin depredadores.
2. Tasa de variación en ausencia de presas.

Elementos de la Simulación

• Eventos: Sucesos que pueden producir un cambio en el estado del sistema.
• Mecanismo de Transición: «Mecanismo» que muestra los cambios que se producen en el estado del sistema cuando se produce un evento.
• Un sistema de colas con un servidor.
• Variable de estado: número de clientes en el sistema, N(t).
• Eventos:
  • Llegada de un nuevo cliente.
  • Fin del servicio de un cliente.
• Mecanismo de transición: N(t) = (N(t) + 1 si llegada de cliente, N(t) – 1 si fin de servicio de un cliente.

Tratamiento del Tiempo

Reloj de Simulación: Variable que registra la cantidad de tiempo que ha sido simulada.

• No tiene relación con el tiempo requerido para llevar a cabo la simulación.
• Métodos para incrementar el reloj de simulación:
  • Incremento en tiempo fijo (time step): El reloj de simulación se incrementa en Δt unidades de tiempo.
  • Cada vez que se incrementa el tiempo se actualizan las variables de estado, comprobando si alguno de los eventos ha ocurrido en ese intervalo.
  • Los eventos que hayan podido ocurrir en ese intervalo, se considera que ocurren al final del intervalo, momento en que se actualizan las variables.
  • Desventajas: Simultaneidad de eventos, error, lentitud.

Organización de un Modelo de Simulación

• Estado del sistema: Variables que describen el sistema en un instante particular.
• Reloj de simulación: Variable con el valor actual del tiempo simulado.
• Lista de eventos: Lista de instantes en que ocurrirán los próximos eventos de cada tipo.
• Contadores: Variables para almacenar información sobre el comportamiento del sistema.
• Rutina de tiempo: Determina el siguiente evento y avanza el reloj de simulación al instante en que va a ocurrir.
• Rutina de evento: Actualiza las variables cuando ha ocurrido un evento. Hay una por cada tipo de evento.
• Generador de informes o resultados: Realiza los cálculos o estimaciones de las características que se desean medir, cuando la simulación acaba.

Metodología en un Estudio de Simulación

Creación del Modelo o Simulador

1. Formular el problema (fase de especificación): Objetivos, hipótesis, parámetros, variables de estado, etc.
2. Reunir datos y crear un modelo: Diagrama de flujo.
3. Programar el modelo: Lenguaje general o lenguaje de simulación.
4. Verificar la programación (depuración): Verificar que lo que se ha programado coincide con lo que se había modelado.
5. Validar el modelo: Ejecutar y comparar con el sistema o solución teórica en casos sencillos.

Uso del Modelo o Simulador

1. Diseñar el experimento: Estrategias, pruebas, número de simulaciones, etc. Técnicas de Reducción de la Varianza.
2. Llevar a cabo las ejecuciones de simulación.
3. Analizar los resultados: Muestra simulada → Análisis estadístico.
4. Decidir si dar por terminada la simulación.
5. Documentar y organizar las ejecuciones.

Software de Simulación

Características Comunes al Codificar Modelos de Simulación

• Generación de muestras de números aleatorios U(0,1).
• Generación de muestras de variables aleatorias con distribuciones específicas.
• Mecanismos de control y flujo del tiempo.
• Determinación del siguiente evento.
• Actualización de listas de sucesos (adición, supresión, actualización de registros).
• Recogida y análisis de datos generados por la simulación.
• Elaboración de informes, gráficas, etc.

→ Lenguajes de simulación de propósito general → Gran desarrollo → Incremento del uso de la Simulación.

Lenguaje de Simulación Versus Lenguaje de Propósito General

Ventajas de los Lenguajes de Simulación

• Proporcionan la mayoría de características necesarias para programar un modelo de simulación → reducción de esfuerzo de programación.
• Entorno de trabajo natural para el uso de modelos de simulación → bloques básicos de programación más afines.
• Más sencillos de codificar → más fácil de modificar para experimentos.
• Facilitan la detección de errores, especialmente en la lógica del proceso.

Ventajas de los Lenguajes de Propósito General

• En general, los «modeladores» conocen algún lenguaje de propósito general, pero no suelen conocer lenguajes de simulación.
• Suelen estar disponibles en cualquier ordenador, no los de simulación.
• El coste del software es menor.
• El tiempo de ejecución es menor (más eficientes).
• Mayor flexibilidad.

Tipos de Software de Simulación

• Lenguaje de simulación: Lenguaje de programación que es general por naturaleza pero con desarrollos especiales para cierto tipo de aplicaciones. Ejemplo: SIMAN, GPSS, etc. Un modelo se desarrolla en un lenguaje de simulación escribiendo un programa usando estructuras de modelado del lenguaje → «Experto» programador.
• Simulador: Programa que permite simular un sistema de una clase específica de sistemas con poca o ninguna programación → Poca o ninguna experiencia en programación → Limitadas las posibles configuraciones de los sistemas. Ejemplo: simulador de vuelo, simulador de un centro de control de una central nuclear.

Análisis de Resultados de Simulación

• Un estudio de simulación busca respuestas a preguntas sobre el sistema a través de la información que proporcionan los experimentos con el modelo.
• Los experimentos responden a preguntas: ¿Qué pasaría si…? (What-if).
• Las respuestas servirán de soporte a una decisión sobre el sistema → variable respuesta (numérica).
• Cada alternativa es una variante del modelo o escenario de simulación para el experimento → estimación de variables respuesta → estadística.
• Muestreo, reducción de varianza, estimación, diseño de experimentos.

Estimación de Medias (Esperanzas)

• En general, el valor esperado de la variable respuesta se estima mediante la media muestral de las observaciones. También se calcula el intervalo de confianza (precisión).
• Intervalo de confianza a: Y = Σ(Xi)/n (De 100 intervalos confiamos en que en al menos a % estará la media).

• Muestreo de dimensión fija: n fijado de antemano → precisión la que resulte.
• Muestreo secuencial: Precisión fijada de antemano (anchura del intervalo) → tamaño de muestra indeterminado (fijar n y si no se alcanza la precisión, seguir).