Existen dos tipos principales de sistemas dinámicos: las ecuaciones diferenciales y los sistemas iterativos de funciones (mapas iterados). Las ecuaciones diferenciales describen la evolución continua de un sistema en el tiempo, mientras que los mapas iterados modelan sistemas donde el tiempo es discreto. Ambos son herramientas fundamentales para ejemplificar y analizar el caos, así como para estudiar soluciones periódicas o caóticas de las ecuaciones diferenciales.

Sistemas No Lineales

Un sistema se considera no lineal cuando las variables del sistema tienen exponentes distintos de uno, existen productos entre diferentes variables, o hay funciones de las variables involucradas. Algunos ejemplos son:

{\displaystyle x_{1}^{2}}, {\displaystyle x_{1}\cdot \;x_{2}}, {\displaystyle \cos {x_{2}}}

La mayoría de los sistemas no lineales no tienen soluciones analíticas exactas. Aunque se pueden obtener soluciones aproximadas, a menudo se pierden soluciones físicas relevantes. La principal dificultad radica en que, a diferencia de los sistemas lineales, los sistemas no lineales no pueden descomponerse en partes independientes para luego combinar sus soluciones. Muchos fenómenos naturales exhiben comportamientos no lineales.

En el contexto del caos, un sistema dinámico se considera sensible a las condiciones iniciales si pequeñas variaciones en estas condiciones conducen a grandes diferencias en la evolución y el resultado final del sistema.

Divergencia Exponencial de Trayectorias Cercanas

Tiempo de horizonte y Exponente de Lyapunov.

Los atractores, especialmente los atractores extraños, muestran una fuerte dependencia de las condiciones iniciales. Esto implica que trayectorias que comienzan muy cerca una de la otra divergirán exponencialmente, llevando a futuros completamente distintos. Estudios numéricos revelan la siguiente relación:

{\displaystyle {\begin{matrix}\|\delta \|\approx \|\delta _{0}\|e^{\lambda t}\end{matrix}}}

donde {\displaystyle \delta (t)} representa el vector de separación entre dos trayectorias, {\displaystyle \delta _{0}} es la separación inicial, y {\displaystyle \lambda } es el exponente de Lyapunov. Un exponente de Lyapunov positivo ({\displaystyle \lambda >0}) indica la presencia de caos y define un tiempo de horizonte, más allá del cual la predicción del sistema se vuelve inválida. Si {\displaystyle a} es la máxima distancia aceptable entre dos trayectorias para una predicción válida ({\displaystyle \|\delta (t)\|\geq a}

), el tiempo de horizonte se calcula como:

{\displaystyle t_{horizon}\approx {\frac {1}{\lambda }}\ln {\frac {a}{\|\delta _{0}\|}}}

El tiempo de horizonte limita la predictibilidad del sistema. Aunque se reduzca la separación inicial ({\displaystyle \delta _{0}}) con gran precisión, el aumento resultante en el tiempo de horizonte será insignificante. Esta limitación fundamental en la predicción es conocida como el efecto mariposa, popularizado por Edward Lorenz con la pregunta: «¿Puede el batir de las alas de una mariposa en Brasil dar lugar a un tornado en Texas?«.

La extrema sensibilidad a las condiciones iniciales se ilustra con la siguiente analogía:

Por perder un clavo, el caballo perdió la herradura, el jinete perdió al caballo, el jinete no combatió, la batalla se perdió, y con ella perdimos el reino.

Si se grafica {\displaystyle \ln {|\|\delta \||}} en función de {\displaystyle t}, se observa una relación lineal a corto plazo. La pendiente de esta línea corresponde al exponente de Lyapunov. Sin embargo, después de un tiempo, la función se desvía de esta pendiente debido a que el atractor está confinado en una región finita del espacio de fases, impidiendo que la distancia crezca indefinidamente.

Atractores

Modelo matemático.

El comportamiento de un sistema dinámico se puede representar en el espacio de fases. Los diagramas de fase de sistemas caóticos no muestran trayectorias definidas, sino un movimiento errático alrededor de un comportamiento definido. En estos casos, se dice que el sistema es atraído hacia un tipo de movimiento, es decir, existe un atractor.

Los atractores no se limitan a los atractores caóticos. Antes del descubrimiento del caos, se conocían otros tipos de atractores. Según la evolución de sus trayectorias, los atractores se clasifican en:

• Atractor de punto fijo: El sistema tiende a estabilizarse en un único punto. Un ejemplo es un péndulo que, debido a la fricción, se detiene en su punto de equilibrio.
• Atractor de ciclo límite (o atractor periódico): El sistema oscila de forma periódica y regular. Un ejemplo es un péndulo ideal sin fricción o un péndulo forzado para mantener su oscilación.
• Atractor caótico: Aparece en sistemas no lineales con alta sensibilidad a las condiciones iniciales. Un ejemplo famoso es el atractor de Lorenz.

Estos nombres reflejan el tipo de movimiento que inducen en los sistemas. Un atractor periódico, por ejemplo, puede describir las oscilaciones regulares de un péndulo, mientras que un atractor caótico describe un movimiento irregular y aparentemente aleatorio.

Ejemplos de Atractores: El Modelo de la Varilla Oscilante

Para ilustrar los diferentes tipos de atractores, consideremos un modelo comúnmente utilizado para explicar el caos: una varilla de acero con un extremo fijo y el otro libre para oscilar entre dos imanes simétricamente colocados. El soporte de la varilla está sujeto a una fuerza armónica {\displaystyle F=f\cos {\omega t}}, como se muestra en la figura del modelo matemático.

Cuando la varilla está vertical, existe un punto de equilibrio inestable entre dos puntos de equilibrio estables. El potencial de este sistema es:

{\displaystyle {\begin{matrix}V(x)=-{\frac {1}{4}}x^{2}(2-x^{2})\end{matrix}}}

La ecuación de movimiento resultante es:

{\displaystyle {\begin{matrix}{\ddot {x}}=-V'(x)=x-x^{3}\end{matrix}}}

Al agregar una fuerza de fricción proporcional a la velocidad ({\displaystyle -\gamma {\dot {x}}}) y una fuerza externa armónica, se obtiene la ecuación de Duffing:

El término no lineal {\displaystyle x^{3}} tiene consecuencias dinámicas significativas.

γ = 0, f = 0.	γ = 0.2, f = 0.

Sin fricción ({\displaystyle \gamma =0}) ni fuerza externa ({\displaystyle f=0}), el sistema es conservativo, y las trayectorias en el espacio de fases {\displaystyle (x,{\dot {x}})} están dadas por:

Los mínimos de energía potencial corresponden a puntos estables, mientras que el máximo es un punto de silla inestable. Las trayectorias con energía nula son órbitas homoclínicas. Las demás trayectorias representan oscilaciones periódicas alrededor de un punto estable ({\displaystyle E) o ambos ({\displaystyle E>0}).

Con fricción, las oscilaciones se amortiguan y el sistema tiende a uno de los atractores de punto fijo.

Al introducir una fuerza externa armónica además de la fricción, el sistema ya no tiende al equilibrio. Se observan soluciones periódicas (ciclos límite), pero sus períodos dependen de la fuerza armónica externa, a diferencia del caso conservativo ({\displaystyle \gamma =f=0}).

Al aumentar la fuerza externa ({\displaystyle f=0.3}), las órbitas periódicas desaparecen, y el sistema oscila irregularmente, mostrando una gran sensibilidad a las condiciones iniciales. Este comportamiento caracteriza a un atractor extraño (o caótico).

Condiciones para el Caos

Para que un sistema dinámico de dimensión finita exhiba un comportamiento caótico, se deben cumplir tres condiciones:

1. No linealidad: El sistema debe ser no lineal.
2. Dimensionalidad: El sistema debe tener al menos tres variables de estado (o dos variables y ser no autónomo).
3. Sensibilidad a las condiciones iniciales: El sistema debe exhibir una fuerte dependencia de las condiciones iniciales.

γ = 0.2, f = 0.3.	γ = 0.2, f = 0.23.

En el modelo de la varilla, la no linealidad está presente desde el principio. La introducción de la fuerza externa ({\displaystyle f=0.23}) añade la tercera variable (el tiempo), y el sistema, que antes no era sensible a las condiciones iniciales, pasa a serlo. Es importante destacar que la presencia de tres o más variables es una condición necesaria, pero no suficiente, para el caos.

Una forma de visualizar el movimiento caótico, o cualquier tipo de movimiento, es mediante un diagrama de fases. En este diagrama, el tiempo está implícito, y cada eje representa una dimensión del estado del sistema. Un sistema en reposo se representaría como un punto, y un sistema en movimiento periódico como un círculo.