Decaimiento Radiactivo: Determinación de la Masa en Función del Tiempo

Ejercicio 2.3.23

Suponga que la tasa con la que un elemento radiactivo (RA) decae es 40e^-20t y la constante de decaimiento k = 5/s. Determine la masa para t con y₀ = 10.

Procedemos de manera similar al Ejemplo 2 en la página 52 y obtenemos un análogo del problema del valor inicial (13), es decir,

dy / dt + 5y = 40e^-20t,      y(0) = 10.           (2.10)

Así  P(t) ≡ 5 y µ(t) = e^∫5dt = e^5t. Multiplicando la ecuación diferencial (ED) en (2.10) por µ(t) e integrando, obtenemos

e^5t (dy / dt) + 5e^5ty = 40e^-20te^5t = 40e^-15t

⇒ (d(e^5ty) / dt) = 40e^-15t  ⇒  e^5ty = ∫40e^-15t dt = (40 / -15)e^-15t + C.

Por lo tanto, una solución para la ED en (2.10) es

 y = e^-5t((40 / -15)e^-15t + C)  = Ce^-5t – (8 / 3)e^-20t.

 Finalmente, podemos encontrar C usando la condición inicial.

 10 = y(0) = Ce^-5·0 – (8 / 3)e^-20·0 = C – (8 / 3)   ⇒ C = 10 + (8 / 3) = 38 / 3.

Por lo tanto, la masa de RA para t ≥ 0 viene dada por

y(t) = (38 / 3)e^-5t – (8 / 3)e^-20t.

Solución del Problema de Valor Inicial Mediante Integración Definida

Ejercicio 2.3.25

Use la integración definida para mostrar que la solución del problema de valor inicial dy/dx + 2xy = 1, y(2)=1 se puede expresar como:

(a) Este es un problema lineal y, por lo tanto, un factor integrante es

 µ(x) = exp(∫2x dx) = exp(x²).

Multiplicando la ecuación por este factor integrante se tiene

 e^x2(dy / dx) + 2xe^x2y = e^x2 ⇒ D_x(ye^x2) = e^x2 ⇒ ∫D_t(ye^t2)dt = ∫e^t2dt,

donde hemos cambiado la variable ficticia x a t e integrado con respecto a t desde 2 (dado que el valor inicial para x en la condición inicial es 2) hasta x. Entonces, dado que y(2) = 1,

ye^x2− e⁴ = ∫₂^xe^t2dt ⇒ y = e^-x2(e⁴ + ∫₂^xe^t2dt) = e^(4-x2) + e^-x2∫₂^xe^t2dt.

(b) Usaremos la regla de Simpson para aproximar la integral definida que se encuentra en la parte (a) con límite superior x = 3. La regla de Simpson requiere un número par de intervalos, pero no sabemos cuántos se requieren para obtener la precisión deseada de 3 decimales. En lugar de hacer un análisis de error, calcularemos el valor aproximado de y(3) usando 4, 6, 8, 10, 12, … intervalos para la regla de Simpson hasta que los valores aproximados para y(3) cambien en menos de 5 en el cuarto decimal. Para n = 2, dividimos [2, 3] en 4 subintervalos iguales. Por lo tanto, cada subintervalo será de longitud (3 – 2) / 4 = 1/4. Entonces, la integral se aproxima por

∫₂³e^t2dt ≈ (1 / 12)(e²² + 4e^2.252 + 2e^2.52 + 4e^2.752 + e³²) ≈ 1460.354350.

Dividiendo esto por e³² y sumando e^(4-32) = e^-5, da

y(3) ≈ 0.186960

Hacer cálculos para intervalos de 6, 8, 10 y 12 arroja la siguiente tabla:

Como los últimos 3 valores aproximados no cambian en más de 5 en el cuarto decimal, parece que sus primeros tres decimales son precisos y la solución aproximada es y(3) ≈ 0.183.

Uso de la Integración Definida en Problemas de Valor Inicial

Ejercicio 2.3.27

Problema de valor inicial dy/dx + √(1 + sin²x)y = x, y(0) = 2. Use la integración definida para mostrar que:

(a) La ED dada está en forma estándar. Así, P(x) = √(1 + sin²x). Dado que no podemos expresar ∫P(x)dx como una función elemental, utilizamos el teorema fundamental del cálculo para concluir que con cualquier constante fija a

(∫_a^xP(t)dt)’ = P(x),

es decir, la integral definida anterior con límite superior variable es una antiderivada de P(x). Dado que, en la fórmula para µ(x), uno puede elegir cualquier antiderivada de P(x), tomamos la integral definida anterior con a = 0. (Tal elección de a proviene del punto inicial x = 0 y facilita la satisfacción de la condición inicial). Por lo tanto, el factor integrante µ(x) se puede elegir como

µ(x) = exp(∫₀^x√(1 + sin²t)dt)

Multiplicando la ecuación diferencial por µ(x) e integrando desde x = 0 hasta x = s, obtenemos

d[µ(x)y] / dx = µ(x)x ⇒ d[µ(x)y] = µ(x)x dx

⇒ ∫₀^sd[µ(x)y] = ∫₀^sµ(x)x dx ⇒ µ(x)y(x) |₀^s = ∫₀^sµ(x)x dx

⇒ µ(s)y(s) – µ(0)y(0) = ∫₀^sµ(x)x dx.

De la condición inicial, y(0) = 2. Además, tenga en cuenta que

µ(0) = exp(∫₀⁰√(1 + sin²t)dt) = e⁰ = 1.

Esto produce µ(0)y(0) = 2 y, por lo tanto,

µ(s)y(s) = ∫₀^sµ(x)x dx + 2.

(b) Dividiendo por µ(s) e intercambiando x y s da el resultado requerido. Los valores de µ(x), x = 0.1, 0.2, …, 1.0, aproximados usando la regla de Simpson, se dan en la Tabla 2-C (omitida aquí por brevedad, pero se puede generar con un software de cálculo). Ahora usamos estos valores de µ(x) para aproximar ∫₀¹µ(s)s ds aplicando la regla de Simpson nuevamente. Con n = 5 y h = (1 – 0) / (2n) = 0.1

la regla de Simpson se convierte en

∫₀¹µ(s)s ds ≈ (0.1 / 3)[µ(0)(0) + 4µ(0.1)(0.1) + 2µ(0.2)(0.2) + 4µ(0.3)(0.3) + 2µ(0.4)(0.4) + 4µ(0.5)(0.5) + 2µ(0.6)(0.6) + 4µ(0.7)(0.7) + 2µ(0.8)(0.8) + 4µ(0.9)(0.9) + µ(1.0)(1.0)] ≈ 1.064539.

Por lo tanto,

y(1) ≈ (1 / µ(1))∫₀¹µ(s)s ds + (2 / µ(1)) = (1 / 3.076723) * 1.064539 + (2 / 3.076723) = 0.9960.

(c) Reescribimos la ecuación diferencial en la forma utilizada en el método de Euler,

dy / dx = x – √(1 + sin²x)y,        y(0) = 2,

y concluimos que f(x, y) = x – √(1 + sin²x)y.

Así, las fórmulas recursivas (2) y (3) en la página 25 del texto se convierten en

 x_n+1 = x_n + h,

y_n+1 = y_n + h(x_n – √(1 + sin²x_n)y_n),      n = 0, 1,… ,

 x₀ = 0, y₀ = 2. Con h = 0.1 necesitamos (1 – 0) / 0.1 = 10 pasos para obtener una aproximación en x = 1.

 n = 0: x₁ = 0.1, y₁ = (2) + 0.1[(0) – √(1 + sin²(0))(2)] = 1.8000;

n = 1: x₂ = 0.2, y₂ = (1.8) + 0.1[(0.1) – √(1 + sin²(0.1))(1.8)] ≈ 1.6291;

 n = 2: x₃ = 0.3, y₃ = (1.6291) + 0.1[(0.2) – √(1 + sin²(0.2))(1.6291)] ≈ 1.4830; . . .

 Los resultados de estos cálculos, redondeados a cuatro decimales, se dan en la Tabla 2-D (omitida aquí por brevedad). Por lo tanto, el método de Euler con paso h = 0.1 da y(1) ≈ 0.9486. Luego tomamos h = 0.05 y completamos la Tabla 2-E (también omitida). Entonces, con el paso h = 0.05, tenemos y(1) ≈ 0.9729.