Sesión 1 – FRACCIONES

– NÚMEROS FRACCIONARIOS: Se denomina así a todos aquellos números racionales que no representan números enteros.

• Ejemplos: Los siguientes números son números fraccionarios:
• Los siguientes números no son números fraccionarios:

FRACCIÓN: Se denomina fracción al número fraccionario que presenta sus dos términos positivos.

• Forma general:
  • A los términos que conforman la fracción se les denomina de la siguiente manera:
    • Ejemplo:

– REPRESENTACIÓN GRÁFICA: A partir de la relación entre estos dos términos podemos llegar a determinar que el termino llamado denominador nos indica las partes en que se ha dividido una determinada unidad y el otro termino llamado numerador nos indica las partes que tomamos de esta división.

• Ejemplo: Veamos que representa la fracción 5

• • A partir del grafico podemos observar:
    • El denominador 8 indica en cuantas partes se divide el todo (la unidad de referencia).
    • El numerador 5 representa las partes del todo que se toman o que se observan.

– CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES: 

• Por la comparación entre sus términos
  1. Fracciones Propias: Cuando el numerador es menor que el denominador.
     • Ejemplos:
  2. Fracciones Impropias: Cuando el numerador es mayor que el denominador.
     • Ejemplos:
       • Observación: Las fracciones impropias originan los números mixtos.
         Ejemplos:
• Por grupo de fracciones: 

  1. Fracciones Homogéneas: Dos o más fracciones se dicen que son homogéneas si todos los denominadores son iguales.

     • Ejemplos:

  2. Fracciones Heterogéneas: Dos o más fracciones se dicen que son heterogéneas si todos los denominadores son diferentes. 

     • Ejemplos:

• Por los divisores comunes entre sus términos
  1. Fracciones Reductibles: Son todas aquellas fracciones cuyo numerador y denominador poseen algún divisor común distinto de 1. Es decir, no son primos entre si (PESI), por lo tanto, son simplificables.
     • Ejemplos:
  2. Fracciones Irreductibles: Son todas aquellas fracciones cuyo numerador y denominador poseen como único divisor común a la unidad. Es decir, son primos entre si (PESI), por lo tanto, no son simplificables.
     • Ejemplos:
• Por su denominador

  1. Ordinarios: Cuando su denominador es diferente de una potencia de 10 (denominador diferente de 10n; n pertenece a los enteros positivos).

     • Ejemplos:  

  2. Decimales: Cuando su denominador es igual a una potencia de 10.
     • Ejemplos:
• Fracciones equivalentes: Dos fracciones son equivalentes cuando con términos distintos expresan la misma porción de la unidad. Las fracciones equivalentes se pueden obtener si a los dos términos de una fracción se les multiplica o divide por una misma cantidad, de esa forma la fracción no varía.
  • Se denota de la siguiente forma:
  • Y se obtiene de la siguiente forma:
    • Ejemplos: 

• Numero mixto: Son aquellos números que tienen parte entera y fraccionaria, provienen de una fracción impropia.
  • • Ejemplo:  
  • Conversión de número mixto a fracción impropia. Para convertir un número mixto a fracción impropia se multiplica la parte entera por el denominador y a este producto se le suma el numerador, el denominador de la fracción es el mismo.
    • Ejemplo:
• Conversión de fracción impropia a número mixto: Para convertir a número mixto una fracción impropia, se divide el numerador por el denominador; el cociente será el entero del número mixto, y el resto el numerador de la fracción, siendo el denominador el mismo.
  • • Ejemplo:
• Comparación de fracciones: 
  1. Homogéneas: Si las fracciones son homogéneas, será mayor la que tenga mayor numerador. 
     • Ejemplo: Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones
       • Como: 8 < 17 < 25 entonces se tendría lo siguiente:
  2. Heterogéneas: Si las fracciones son heterogéneas, debemos homogenizar las fracciones aplicando el siguiente procedimiento. Dando común denominador a las fracciones: Para esto se halla el MCM de los denominadores. El nuevo numerador se hallará multiplicando el numerador inicial por el cociente del MCM entre el denominador inicial.

• • • Ejemplo: Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones

Homogenizamos las fracciones, hallando el MCD de los denominadores.

El MCM(8; 4; 12) = 24

Cocientes:

Nuevos numeradores: 7 . 3 = 21; 1 . 6 = 6; 5 . 2 = 10

Luego:

Ahora tenemos:

Ordenando tenemos:

• Operaciones con fracciones
  • Adición y sustracción de fracciones 
    1. Homogéneas: Se suman los numeradores y al resultado se le pone el mismo denominador común.
       • Ejemplo:
    2. Heterogéneas: Se homogenizan los denominadores de las fracciones y se procede como en el caso anterior.
       • Ejemplo:

Calculamos el MCM(7;13;5) = 455

• • Multiplicación de fracciones: 
    1. Multiplicación de una fracción por otra fracción: Se multiplican los numeradores correspondientes y se dividen por el resultado de multiplicar los denominadores.
       • Ejemplo:
    2. Multiplicación de una fracción por un número entero: Se multiplica el numerador por el número entero y se escribe el mismo denominador.
       • Ejemplo:
  • División de fracciones: División de una fracción entre otra fracción, Se multiplica la primera fracción por la fracción inversa de la segunda.
    • • Ejemplo:  

Otra forma es aplicando producto de extremos entre producto de medios.

• PROPIEDADES
  1. Si dos fracciones tienen igual denominador, es mayor el que tiene mayor numerador.
     • Ejemplo:
  2. Si dos fracciones tienen igual numerador, es mayor el que tiene menor denominador:
     • Ejemplo:
  3. Si a los términos de una fracción propia se le suma o se le resta un mismo número, la fracción aumenta o disminuye respectivamente.
     • Ejemplo:

4. Si a los términos de una fracción impropia, se le suma o se le resta un mismo numero la fracción disminuye o aumenta respectivamente.

• • • Ejemplo:
• Aplicaciones de fracciones
  1. Fracción de Fracción: Se denomina así a las partes que se consideran de una fracción que se ha dividido en partes iguales.
     • Ejemplo:

Indica que la fracción se ha dividido en 4 partes iguales de los que se ha tomado 1.

• 1. • Ejemplo: Calcular los de losde 160
  2. Fracción como relación (Parte – Todo)
     • Ejemplo: En una reuníón asistieron 80 persona donde 30 eran varones. En determinado momento de la reuníón se encontraban bailando 15 parejas. ¿Qué parte de los reunidos son hombres?       ¿Qué parte del número de varones es el número
       de mujeres?

¿Qué parte es el numero de personas que bailan respecto al numero de personas que no bailan?

3. Método de reducción a la unidad: Este método se aplica en aquellos problemas que relacionan: obra, trabajo, caños, grifos, piscinas, desagües, etc. Donde no se conoce la magnitud del trabajo o tarea, pero si es conocido el tiempo total que se necesita para hacer dicha obra. El procedimiento consiste en determinar el avance por unidad de tiempo, para lo cual basta tomar la inversa al tiempo total.

• • • Ejemplo: Si Juan hace una obra en 9 días, ¿qué parte de la obra hace en 1 día?
      • En un día hace de la obra.

De manera similar, si deseamos calcular el tiempo total basta invertir el avance por unidad de tiempo.

• • • Ejemplo: Si en 1 hora se realiza de una obra, toda la obra se realiza en 4 horas.
    • Ejemplo: Ricardo hace una obra en 6 días y Luis en 3 días. ¿En qué tiempo lo hacen juntos?

Ricardo en 1 día hace 1/6 de la obra.

Luis en 1 día hace 1/3 de la obra.

Luego juntos en 1 día hacen:

En 1 día realizan 3/6 de la obra, por lo tanto, la obra la realizan en:

Problemas Resueltos

1. Calcular la suma de todos los valores de “a” sabiendo que la fracción es propia e irreductible.
   • Como la fracción es propia ⇒ a < 12
     Como la fracciones irreductible ⇒ a y 12 son PESI
     Luego los valores que puede tomar a son: 1, 5, 7 y 11
     La suma sería: 1 + 5 + 7 + 11 = 24
     • Respuesta: 24
2. ¿Cuál es la diferencia de los términos de la fracción equivalente a 3/5 cuya suma de términos es 9696?
   • Como se trata de una fracción equivalente, tenemos: Luego tenemos que la suma de términos es 9696, entonces: Luego la diferencia de términos seria:
     b – a = 5k – 3k = 2k = 2 . (1212) = 2424
     • Respuesta: 2424
3. El denominador excede al numerador de una fracción en la unidad. Si al denominador se le agrega 4 unidades, el resultado es 2 unidades menos que el triple de la fracción original. ¿Cuál es el numerador de la fracción original?
   • 
     • Respuesta: 5