Archivo de la etiqueta: matemáticas

Productos Notables y Estadística: Conceptos y Ejemplos Prácticos

Matemáticas, , ,

Productos Notables

Caso 1: Cuadrado de una Suma

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Fórmula: (x + a)2 = x2 + 2xa + a2

Ejemplos:

  • (x + 10)2 = x2 + 2(x)(10) + 102 = x2 + 20x + 100
  • (x + 3/5)2 = x2 + 2(x)(3/5) + (3/5)2 = x2 + 6/5x + 9/25
  • (3x + 8)2 = (3x)2 + 2(3x)(8) + 82 = 9x2 + 48x + 64

Caso 2: Cuadrado de una Resta

El cuadrado de una resta es igual al cuadrado del primer término, Seguir leyendo “Productos Notables y Estadística: Conceptos y Ejemplos Prácticos” »

Estudio de Continuidad y Derivabilidad de Funciones: Casos Prácticos

Matemáticas, , , ,

Estudio de la Continuidad y Derivabilidad de las Siguientes Funciones

Caso a)

En primer lugar, estudiamos la continuidad en x = 0.

función

continuidad

La función es continua, por lo tanto, podemos estudiar la derivabilidad.

función

función

No es derivable en x = 0.

Caso b)

función

En primer lugar, estudiamos la continuidad en x = 0.

continuidad

La función no es continua, por lo tanto, tampoco es derivable.

Caso c)

Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

cálculo de derivadas

cálculo de derivadas

La función es continua en toda R .

cálculo de derivadas

f’(−2) Seguir leyendo “Estudio de Continuidad y Derivabilidad de Funciones: Casos Prácticos” »

Conceptos Fundamentales de Cálculo y Álgebra: Ejercicios Resueltos

Matemáticas, , ,

Conceptos Fundamentales de Cálculo y Álgebra: Ejercicios Resueltos

1. Fórmula para Calcular la Distancia entre Dos Puntos Relacionada con el Producto Escalar de Dos Vectores

El módulo de un vector corresponde con la longitud de dicho vector (AB) y, por lo tanto, con la distancia entre el punto A y el punto B. Por lo tanto, |AB| = √(AB * AB)

2. Definición de Límite de una Función en un Punto, Continuidad de una Función en un Punto y Continuidad de una Función en un Intervalo. Ejemplos de Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales de Cálculo y Álgebra: Ejercicios Resueltos” »

Resolución de Problemas Matemáticos: Ecuaciones y Sistemas

Matemáticas, , , , , , ,

Problema 1

Busca dos números tales que la suma del doble del mayor con la mitad del menor sea menos de 150, y sabiendo que cuatro veces el menor supera en 22 unidades al triple del mayor.

Solución:

  • 1º (mayor): x
  • 2º (menor): y

Sistema de ecuaciones:

  • 2x + y/2 = 150
  • 4y = 3x + 22

Resolución por sustitución:

  1. 4x + y = 300
  2. y = (3x + 22) / 4
  3. 4x + (3x + 22) / 4 = 300
  4. 16x + 3x + 22 = 1200
  5. 19x = 1200 – 22
  6. x = 1178 / 19
  7. x = 62
  8. y = (3 * 62 + 22) / 4 = (186 + 22) / 4 = 208 / 4
  9. y = 52

Respuesta:

Fórmulas y Conceptos Esenciales de Matemáticas: Geometría, Álgebra y Trigonometría

Matemáticas, , ,

Fórmulas y Conceptos Esenciales de Matemáticas

Geometría

Poliedros

Cálculo del número de aristas (A)

A = Fn / 2

Ejemplo: Determinar el número de aristas de un poliedro con 3 caras cuadrangulares, 2 caras pentagonales y 4 caras triangulares.

A = (3 * 4 + 2 * 5 + 4 * 3) / 2 = 17

Teorema de Euler

V + F = A + 2

Donde:

  • V: Número de vértices
  • F: Número de caras
  • A: Número de aristas

Área y Volumen de una Esfera

  • Área (A): A = 4πR2
  • Volumen (V): V = (4/3)πR3

Volumen de una Pirámide y un Cono

V = (Abase * h) Seguir leyendo “Fórmulas y Conceptos Esenciales de Matemáticas: Geometría, Álgebra y Trigonometría” »

Conceptos y Propiedades Matemáticas: Álgebra y Cálculo

Matemáticas, , , , ,

Propiedades de un Cuerpo

Las propiedades de un cuerpo se dividen en dos operaciones: suma y producto.

Suma

Para todo x, y, z que pertenecen a los números reales (x, y, z ∈ ℝ):

  • Asociatividad: (x + y) + z = x + (y + z)
  • Conmutatividad: x + y = y + x
  • Elemento neutro: Existe un único 0 ∈ ℝ tal que x + 0 = 0 + x = x
  • Simetría: Para cada x ∈ ℝ, existe un (-x) ∈ ℝ tal que x + (-x) = (-x) + x = 0

Producto

Para todo x, y, z que pertenecen a los números reales (x, y, z ∈ ℝ):

Propiedades y Demostraciones de Aplicaciones: Inyectividad, Suprayectividad y Biyección

Matemáticas, , , , , ,

Propiedades de las Aplicaciones

  1. Si X1 ⊆ X2 ⊆ A, entonces f(X1) ⊆ f(X2).
  2. Si X1, X2 ⊆ A, entonces f(X1 ∪ X2) = f(X1) ∪ f(X2).
  3. Si X1, X2 ⊆ A, entonces f(X1 ∩ X2) ⊆ f(X1) ∩ f(X2).
  4. Si Y1 ⊆ Y2 ⊆ B, entonces f −1(Y1) ⊆ f −1(Y2).
  5. Si Y1, Y2 ⊆ B, entonces f −1(Y1 ∪ Y2) = f −1(Y1) ∪ f −1(Y2).
  6. Si Y1, Y2 ⊆ B, entonces f −1(Y1 ∩ Y2) = f −1(Y1) ∩ f −1(Y2).

Demostraciones

  1. Si b ∈ f(X1) existe x ∈ X1 tal que b = f(x) pero, como también x ∈ X2 pues X1 ⊆ X2, se Seguir leyendo “Propiedades y Demostraciones de Aplicaciones: Inyectividad, Suprayectividad y Biyección” »

Explorando Sucesiones, Progresiones, Vectores y Matrices: Conceptos Clave

Matemáticas, , , , ,

Sucesiones y Progresiones

Sucesiones: Una sucesión es una función definida de los naturales en los reales. Las sucesiones se escriben como un conjunto numérico, donde el conjunto de partida es la posición del término. En una sucesión siempre necesitamos el término general, que se denota como

Progresión Aritmética

Es una sucesión en la cual, cada término se halla “sumándole al anterior un valor constante llamado razón”.

NOTA: No todas las sucesiones son progresiones.

Suma de los “n” Seguir leyendo “Explorando Sucesiones, Progresiones, Vectores y Matrices: Conceptos Clave” »

Exploración de Relaciones Binarias, Espacios Vectoriales y Topología

Matemáticas, , , , ,

    RELACIONES BINARIAS

DEFINICIÓN (de relación binaria) Sea A un conjunto. Una relación binaria definida en A es un subconjunto R de X x X. Se usa la notación xRy para indicar que (x,y) ∈ R.

PROPIEDADES Sea A un conjunto. Una relación binaria R definida en A.

(1)   Reflexiva:     ∀a∈A,   aRa

(2)   Simétrica:     ∀a,b∈A   si   aRb ⇒ bRa.

(3)   Transitiva:     ∀a,b,c∈A     si  aRb  y   bRc ⇒ aRc.

(4)   Antisimétrica:   ∀a,b∈A    si  Seguir leyendo “Exploración de Relaciones Binarias, Espacios Vectoriales y Topología” »

Entendiendo la Tasa de Variación Media, Recta Tangente y Pendiente en Matemáticas

Matemáticas, , , ,

Tasa de Variación Media (TVM)

La TVM indica las unidades en que una función aumenta o disminuye por cada unidad que aumenta su variable independiente x.

Recta Tangente

Una recta tangente es aquella que toca a un objeto geométrico en un solo punto. La recta tangente a una circunferencia en un punto A o B siempre es perpendicular al radio formado desde el centro de la circunferencia hasta ese punto.

Pendiente

La pendiente es la razón entre la variación de la variable y con respecto a la variación Seguir leyendo “Entendiendo la Tasa de Variación Media, Recta Tangente y Pendiente en Matemáticas” »