Lema: Continuidad de Operadores Lineales en Espacios de Dimensión Finita

Para N ∈ ℕ, todo operador lineal de K^N con la topología usual, en cualquier otro espacio normado, es continuo.

Demostración

Sea Y un espacio normado y T : K^N → Y un operador lineal. Denotando por {e₁, e₂,…, e_N} a la base usual de K^N, sea y_k = T(e_k) para todo k ∈ {1,2,…,N}. Se tiene entonces que T(x) = T ( ∑ x(k) e_k ) = ∑x(k)T(e_k) = N ∑ x(k) y_k, ∀x ∈ K^N. Fijado k ∈ {1,2,…,N}, la aplicación x → x( Seguir leyendo “Demostraciones Clave en Espacios Normados: Teoremas y Lemas Fundamentales” »