Punto Fijo
Sea f:[a,b]→[a,b] una función continua. Entonces f tiene al menos un punto c∈[a,b] tal que f(c)=c. Estos puntos se llaman puntos fijos de f.
Demostración: Notar que si f:[a,b]→[a,b] entonces f(a),f(b)∈[a,b] luego a≤f(a),f(b)≤b. Definiendo la función auxiliar g(x)=f(x)-x, continua en [a,b], ésta verifica que g(a)=f(a)-a≥0 y g(b)=f(b)-b≤0.
- Si g(a)=0 entonces f(a)=a (a es un punto fijo)
- Si g(b)=0 entonces f(b)=b (b es un punto fijo)
En otro caso, g(a)>0 y g(b)<0.
