Archivo de la etiqueta: sucesiones

Fundamentos de Análisis Matemático: Sucesiones, Integrales, Topología, Derivadas y Optimización

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Sea {xn}n∈N una sucesión de números reales. xn → l o limn xn = l si ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N tal que n > n0 ⇒ |xn − l| < ε. En este caso, la sucesión es convergente y converge a l.

Criterio de Cauchy

Teorema (Criterio de Cauchy). Una sucesión {xn}n∈N en R tiene límite finito si y sólo si ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N tal que m, n > n0 ⇒ |xn − xm| < ε.

Integrales

Sea f : A → R una función real de variable real definida en un conjunto A. Se llama función primitiva Seguir leyendo “Fundamentos de Análisis Matemático: Sucesiones, Integrales, Topología, Derivadas y Optimización” »

Conceptos Fundamentales de Cálculo: Sucesiones, Series, Topología e Integración

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Sucesiones de Números Reales

Una sucesión de vectores o números reales {xn} tiene límite l, o lim xn = l, si para todo Ɛ > 0 existe un n0 ∈ N tal que si n ≥ n0, entonces || xn – l || < Ɛ.

También se define:

  • lim xn = +∞ si para todo k > 0 existe un n0 ∈ N tal que si n ≥ n0, entonces xn > k.
  • lim xn = -∞ si para todo k > 0 existe un n0 ∈ N tal que si n ≥ n0, entonces xn < k.

Una sucesión converge si su límite es un número real. Diverge si lim xn = +∞ o lim Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales de Cálculo: Sucesiones, Series, Topología e Integración” »

Fundamentos de Lógica, Conjuntos, Sucesiones, Funciones y Derivadas

Matemáticas, , , ,

Leyes Lógicas

1) Involución: ~ (~p)

2) Idempotencia: (p ∧ q) ≡ p; (p ∧ q) ≡ p

3) Conmutativa:

  • Disyunción: (p ∨ q) ≡ (q ∨ p)
  • Conjunción: (p ∧ q) ≡ (q ∧ p)

4) Asociativa: Disyunción: (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

5) Distributiva:

  • De la conjunción respecto de la disyunción: (p ∨ q) ∧ r ≡ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)
  • De la disyunción respecto de la conjunción: (p ∧ q) ∨ r ≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)

Ley de Morgan

a) La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción Seguir leyendo “Fundamentos de Lógica, Conjuntos, Sucesiones, Funciones y Derivadas” »

Conceptos Fundamentales del Cálculo: Puntos Fijos, Sucesiones y Teoremas Clave

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Punto Fijo

Sea f:[a,b]→[a,b] una función continua. Entonces f tiene al menos un punto c∈[a,b] tal que f(c)=c. Estos puntos se llaman puntos fijos de f.

Demostración: Notar que si f:[a,b]→[a,b] entonces f(a),f(b)∈[a,b] luego a≤f(a),f(b)≤b. Definiendo la función auxiliar g(x)=f(x)-x, continua en [a,b], ésta verifica que g(a)=f(a)-a≥0 y g(b)=f(b)-b≤0.

  • Si g(a)=0 entonces f(a)=a (a es un punto fijo)
  • Si g(b)=0 entonces f(b)=b (b es un punto fijo)

En otro caso, g(a)>0 y g(b)<0.

Sucesiones

Definición Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales del Cálculo: Puntos Fijos, Sucesiones y Teoremas Clave” »

Explorando Sucesiones, Progresiones, Vectores y Matrices: Conceptos Clave

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Sucesiones y Progresiones

Sucesiones: Una sucesión es una función definida de los naturales en los reales. Las sucesiones se escriben como un conjunto numérico, donde el conjunto de partida es la posición del término. En una sucesión siempre necesitamos el término general, que se denota como

Progresión Aritmética

Es una sucesión en la cual, cada término se halla “sumándole al anterior un valor constante llamado razón”.

NOTA: No todas las sucesiones son progresiones.

Suma de los “n” Seguir leyendo “Explorando Sucesiones, Progresiones, Vectores y Matrices: Conceptos Clave” »