Archivo de la etiqueta: Teorema de Rolle

Propiedades de las Funciones Derivables: Teoremas y Demostraciones

5 febrero, 2025Matemáticascálculo diferencial, función derivable, regla de Barrow, regla de la cadena, teorema de Bolzano, Teorema de Rolle, teorema del valor mediowiki

Propiedades de las Exponenciales

Las siguientes propiedades son fundamentales en el cálculo y álgebra:

Propiedad I

\(a^{b+c} = a^b \cdot a^c\), Ecuacion

\(a \in \mathbb{R}^+\), Ecuacion

\(b, c \in \mathbb{R}\)

Propiedad II

\(a^{b-c} = \frac{a^b}{a^c}\), Ecuacion

\(a \in \mathbb{R}^+\), Ecuacion

\(b, c \in \mathbb{R}\)

Propiedad III

\(a^{b \cdot c} = (a^b)^c\), Ecuacion

\(a \in \mathbb{R}^+\), Ecuacion

\(b, c \in \mathbb{R}\)

Propiedad IV

\((a \cdot b)^c = a^c \cdot b^c\), Ecuacion

\(a, b \in \mathbb{R}^+\), Ecuacion

\(c \in \mathbb{R}\)

Propiedad V

\(\left(\frac{a}{b}\right) Seguir leyendo “Propiedades de las Funciones Derivables: Teoremas y Demostraciones” »

Fundamentos del Cálculo Diferencial: Derivadas, Teoremas y Optimización

1 febrero, 2025Matemáticascálculo diferencial, derivadas, Teorema de Rolle, teorema del valor mediowiki

1. Derivada de una Función en un Punto

Definición: Dada una función f: A ⊂ ℝ → ℝ, se dice que es derivable en el punto x₀ ∈ A si existe y es finito el límite siguiente:

En el caso de que el límite exista, se denota f'(x₀). Si f es derivable en todo x₀ ∈ A, diremos que f es derivable en A.

La derivada de una función en x₀ nos está dando la velocidad puntual de variación de f(x) con respecto a x en el punto x₀. Dicho de otra manera, dado que el cociente anterior:

representa la tasa Seguir leyendo “Fundamentos del Cálculo Diferencial: Derivadas, Teoremas y Optimización” »

Teoremas Fundamentales del Cálculo: Demostraciones y Aplicaciones

10 enero, 2025MatemáticasCálculo, Regla de L'Hôpital, Teorema de Cauchy, Teorema de Lagrange, Teorema de Rollewiki

Teorema de Rolle

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b). Además, la función toma valores iguales en los extremos del intervalo, es decir, f(a) = f(b). Entonces, existirá un punto «c» interior al intervalo tal que f'(c) = 0.

1^er caso: Si f(x) es constante, el teorema se demuestra automáticamente, ya que la derivada de una constante es cero.
2º caso: Si f(x) tiene un máximo (M) distinto de f(a) = f(b), la función tendrá un mínimo (m) dentro del intervalo. Seguir leyendo “Teoremas Fundamentales del Cálculo: Demostraciones y Aplicaciones” »