7.2 LA PIEZA PRISMÁTICA. ESFUERZOS Y TENSIONS. HIPÓTESI DE NAVIER

Se define una pieza prismática como el vol engendrado por una sup plana, denominada superficie generatriz, al moverse a lo largo de una línea, llamada eje o directriz de la pieza, de forma que la sup generatriz permanece constantemente perpendicular a dicho eje, manteniendo en todo momento su centro de gravedad en el mismo. Y así, la sup generatriz puede ser una sección llena o hueca, constante o variable a lo largo del eje de la pieza. Además, atendiendo a la geometría del eje o directriz, las piezas prismáticas se clasifican en rectas, coplanares y alabeadas, según el eje sea una recta, una curva plana o una curva alabeada (no plana), respectivamente. En cuanto a sus proporciones geométricas una pieza prismática, cualquiera que sea la forma de su sección o de su eje, se caracteriza porque su longitud (dimensión a lo largo del eje de la pieza) suele ser bastante mayor que las dimensiones transversa/es. Para su estudio se utiliza un sistema de referencia adecuado a estas carácterísticas geométricas: se denominará eje X a la recta tangente en cada punto al eje de la pieza; eje Y a la recta que pasa por el centro de curvatura de la pieza, y eje Z a la recta binormal.  Como ejes y, z se elegirán los ejes principales de inercia de la sección. 

Definición de los ejes: 1. Nx :
esfuerzo normal, perpendicular al plano de la sección. 2. Vy, Vz: esfuerzos cortantes, contenidos en el plano de la sección. 3. Mx : momento torsor. 4. My, Mz : momentos flectores. 

Hipótesis de Navier consiste en suponer que las secciones planas y normales al eje geométrico de la barra antes de la deformación, permanecen planas y normales al eje después de la deformación

7.5. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS E HIPERESTÁTICAS

Los valores de las reacciones son necesarios para obtener los esfuerzos en cualquier sección de la estructura.
Para la determinación de las reacciones habrá que plantear el equilibrio de la estructura y resolver el sistema de ecuaciones. Para algunas estructuras las ecuaciones así formuladas serán suficiente para obtener los valores de las reacciones, pero en otras ocasiones se hará necesario añadir algunas condiciones de deformación que la estructura debe cumplir.  Cuando la mera aplicación de las ecuaciones de equilibrio permite determinar todas las reacciones, la estructura se denomina isostática: la estructura tiene el número de enlaces estrictamente necesario para garantizar su equilibrio. En cambio, si el número de incógnitas (reacciones) supera al de ecuaciones de equilibrio, la estructura se denomina hiperestática: el número de enlaces supera a los estrictamente necesarios para garantizar el equilibrio, y se suele decir que tiene ligaduras superabundantes o superfluas. A la diferencia entre reacciones y ecuaciones de equilibrio se le denomina grado de hiperestaticidad. Es un indicador del número de condiciones de deformación que es necesario añadir a las ecuaciones de equilibrio para calcular las reacciones. 

7.7. ECS DIFERENCIALES DE EQ PARA PIEZAS Prismáticas

Estas dos expresiones se conocen con el nombre de ecuaciones diferenciales de equilibrio y permiten formular algunas conclusiones generales sobre la forma de los diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores.

Como casos particulares, se deduce asimismo que: • Si q = cte en un tramo de la viga, en él el diagrama de cortantes Vy será lineal y el de flectores M, cuadrático. • Si q = O (no existe carga distribuida) , el cortante
Vy será cte y el momento M, lineal en dicho tramo. • En las secciones en que estén aplicadas cargas puntuales, el diagrama de Vy sufrirá un salto brusco de magnitud igual a dicha carga y en el de Mz aparecerá el vértice correspondiente.

Entre otras aplicaciones, las ecuaciones diferenciales de equilibrio pueden utilizarse para obtener los diagramas de esfuerzo cortantes y momentos flectores de una viga.

7.8. PRINCIPIO DE SAINT-VENANT

«Si se reemplaza una carga que actúa sobre una pequeña zona de la superficie de un cuerpo elástico por otra carga estáticamente equivalente, el cambio en la distribución de tensiones se apreciará sólo en las zonas próximas a la de aplicación de la carga, siendo la distribución en puntos suficientemente alejados prácticamente invariable.»

8.2. ESTADO TENSIONAL EN TRACCIÓN O COMPRESIÓN SIMPLE

Para un punto cualquiera de la misma, de las tres componentes de tensión sigma xx, Txy, Txz asociadas al plano de la sección, las dos componentes tangenciales son nulas por serlo también todos los esfuerzos de sección salvo el normal Nx . A su vez, este esfuerzo normal no es sino la resultante de la distribución de tensiones normales en dicha sección, es decir:

Esta ecuación, proporcionada por la estática, permite conocer la resultante de la distribución de tensiones normales Uxx en la sección, pero no cómo están distribuidas en ella. Para conocer cómo es esta distribución es preciso recurrir a la naturaleza de las deformaciones, aplicando la hipótesis de Navier. Sigma(xx)=P/A 

El hecho de que en cualquier punto de la pieza sea nula la tensión tangencial en el plano de la sección recta indica que el eje de la pieza es dirección principal.

8.3. DEFORMACIÓN EN TRACCIÓN O COMPRESIÓN SIMPLE

Para el caso de tracción o compresión simple que se está considerando, las componentes de deformación que se obtienen son las siguientes:

Considéresé dos secciones rectas separadas una distancia dx en una pieza prismática sometida a esfuerzo axial simple. El alargamiento o acortamiento DELTAx de esta barra de longitud elemental dx será:

El alargamiento (o acortamiento) total de Ja pieza se obtendrá integrando esta expresión a lo largo de la longitud de la barra:

Particularizando a una pieza en la que Nx=P y además E y A son también constantes: (expresión que proporciona el alargamiento total experimentado por la pieza. )

Para barras en las que existan variaciones discretas de los valores del área de la sección, o del módulo de elasticidad del material, o del esfuerzo normal la fórmula a aplicar para el cálculo del alargamiento absoluto será:

8.4. INFLUENCIA DEL PESO PROPIO

En algunas ocasiones las cargas que actúan sobre la pieza son de una magnitud tal que frente a ellas el peso propio de la misma puede considerarse despreciable. Pero en otras no es así, ya que el propio peso puede producir por sí mismo unas tensiones que pudieran ser de un orden de magnitud similar, o incluso superior, a las debidas a las cargas. Es evidente que, en estas ocasiones, el peso propio habrá que tenerlo en cuenta. Supóngase, por ejemplo, una columna de longitud L, sección recta de área constante A, material de módulo de elasticidad E y peso específico p, sometida a una carga P de compresión, tal como se indica en la fig. 8.5, en la que también se indica el correspondiente diagrama de esfuerzos normales. El valor de la tensión sigma xx, en una sección intermedia definida por su distancia x al extremo libre es: 

Por tanto, la tensión normal no es uniforme sino que crece linealmente con la distancia x. La sección más desfavorable de la columna es el empotramiento, por aparecer ahí el máximo valor de SIGMAxx. 

8.5. SISTEMAS HIPERESTÁTICOS EN TRACCIÓN-COMPRESIÓN SIMPLE

Como se ha dicho anteriormente, si la estructura que está trabajando a tracción y/o compresión simple es hiperestática, las condiciones de equilibrio no son suficientes y deben establecerse, además, otras condiciones basadas en la compatibilidad de deformaciones.

En general, puede sistematizarse el análisis de las estructuras hiperestáticas mediante los siguientes pasos: 1) Aplicación de las ecuaciones de equilibrio. Estas condiciones, lógicamente, no serán suficientes para determinar los esfuerzos en cada uno de los elementos de la estructura.

2) Planteamiento de las condiciones de compatibilidad de la deformación. Son las condiciones supletorias para la resolución del problema. Para su formulación se aplica la hipótesis de pequeñas deformaciones. Por tratarse de condiciones que se expresan en términos de deformaciones o desplazamientos y no de esfuerzos o tensiones, aún no será posible resolver el problema.

3) Aplicación de las ecuaciones o leyes de comporlamiento para cada uno de los elementos de la estructura. Estas ecuaciones relacionan las deformaciones (o los desplazamientos) con las tensiones (o los esfuerzos).

Puesto que la resolución de una estructura hiperestática implica necesariamente la utilización de las leyes de comportamiento, Jos esfuerzos en los elementos de una estructura de este tipo dependerán tanto de la geometría como del material, a diferencia de lo que ocurre en una estructura isostática, en la que los esfuerzos sólo dependen de la geometría, pero no del material.

8.6. TENSIONES INICIALES Y TENSIONES TÉRMICAS

Las tensiones iniciales son aquellas que aparecen en algunos o todos los elementos de la estructura antes de aplicar las cargas. Pueden deberse a múltiples causas: errores de montaje, errores de fabricación, etc. Por ejemplo, por un error de fabricación o de montaje, pueden resultar peligrosas para la estructura, ya que se superponen a las originadas por las propias cargas que la estructura soporta, resultando unas tensiones totales superiores a las que se había estimado en el proyecto de la misma. 

cuando la temperatura en una pieza prismática varía de modo uniforme en una cantidad Ll T (por ejemplo, mediante un calentamiento o un enfriamiento uniforme), la longitud L de cualquiera de sus dimensiones experimenta una variación DELTA L dada por: DELTAL =alpha*L*AT

Si uno de los apoyos, por ejemplo el 8, fuera móvil, no estaría restringida la libre dilatación y la barra experimentaría el alargamiento dado por (8.27), sin que aparecieran tensiones.

Por el contrario, si ambos apoyos son fijos, como es el caso que se está considerando, la dilatación ya no es libre. La barra queda en una situación equivalente a la de haber dejado libre la dilatación DELTAL y haber aplicado a continuación una fuerza N de compresión de valor tal que la deformación producida sea precisamente DELTAL

9.1. FLEXIÓN PURA, FLEXIÓN SIMPLE Y FLEXIÓN COMPUESTA

FLEXIÓN PURA:el momento flector es constante y el esfuerzo cortante es nulo. Además, no existen esfuerzos normales en toda la viga. Una sección en la que los esfuerzos interiores se reducen al momento flector, siendo nulos el esfuerzo cortante y el esfuerzo normal, se dice que se encuentra sometida a flexión pura. 

Flexión SIMPLE: Sea la viga biarticulada de la fig. 9.2 sobre la que actúa una carga uniformemente repartida de intensidad q. En cualquier sección de la viga (salvo la central) los esfuerzos que se originan son únicamente un cortante y un flector.  Una sección tal en la que existe momento flector y esfuerzo cortante, siendo nulo el esfuerzo normal, se dice que se encuentra sometida a flexión simple. 

Flexión COMPUESTA: Sea la viga biarticulada de la fig. 9.3 sometida a la acción de una fuerza F. Aplicada en e e inclinada un ángulo a respecto al eje de la viga. Como se expresa en los diagramas de esfuerzos de sección, en el tramo AC se origina, además de esfuerzo cortante y momento !Lector, un esfuerzo normal. Una sección sometida simultáneamente a esfuerzo normal, esfuerzo cortante y momento !Lector se dice que trabaja a flexión compuesta. La flexión compuesta se presenta con frecuencia en columnas que soportan cargas excéntricas (no aplicadas en el centro de gravedad de la sección), por medio de ménsulas u otras disposiciones estructurales 

9.2. FLEXIÓN PURA EN BARRAS PRISMÁTICAS. LEY DE NAVIER

En flexión pura no existe esfuerzo cortante y, por tanto, el momento flector es constante  Por ello, puede decirse que una viga o un tramo de la misma trabaja a flexión pura cuando está sometida a un momento flector constante.

Hipótesis: a) Viga recta simétrica: La sección transversal se supone cte a lo largo del eje de la pieza, con un eje de simetría al menos. B) Material homogéneo, isótropo y elástico lineal (cumple ley de Hooke), con igual módulo E a trac y comp. C) Hipótesis de Navier-Bernoulli de las secciones planas: las secciones transversales de la barra permanecen planas y perpendiculares a la directriz y a todas las fibras longitudinales en la viga deformada. D) Pequeñas deformaciones: se supone que las deformaciones son lo suficientemente pequeñas para que la acción de las fuerzas exteriores no se vea modificada. 

9.2.2. Tensiones y deformaciones longitudinales en una viga sometida a flexión pura : La primera estará necesariamente sometida a una tensión de compresión en tanto que la segunda lo estará a una tensión de tracción. Debido a la continuidad de las deformaciones, entre ambas fibras existirá otra N1N2 que no experimentará variación de longitud alguna, es decir, N1N2 = dx, y que, por tanto, no estará sometida a ninguna tensión. A esta fibra se la denomina fibra neutra. Donde k=1/p es la curvatura. Este resultado pone de manifiesto que la deformación unitaria longitudinal de una fibra es directamente proporcional a su distancia a la fibra neutra e inversamente proporcional al radio de curvatura. Teniendo en cuenta que se cumple la ley de Hooke, si E es el módulo de Young se obtiene la siguiente expresión para la tensión longitudinal: SIGMAxx=E*y/rho

9.2.3. Determinación de la posición de la línea neutra y del radio de curvatura en flexión pura. Ley de Navier. La distribución de tensiones en la sección recta de la viga debe ser estáticamente equivalente al momento flector, que es el único esfuerzo que actúa en dicha sección. Se concluye que el momento estático del área de la sección recta con relación al eje neutro (eje z) es nulo, lo que únicamente es cierto cuando dicho eje contiene el centro de gravedad de la sección. Esto indica que el eje neutro N-N pasa por el centro de gravedad de la sección. Para determinar el valor del radio de curvatura p basta aplicar la condición de equilibrio de momentos alrededor del eje z 1/rho=Mz/E*Iz  -> σxx=Mz*y/Iz, expresión conocida como ley de Navier de la flexión, , la cual indica que la tensión a,, en un punto de la sección es directamente proporcional al momento flector y a la distancia de ese punto al eje neutro, e inversamente proporcional al momento de inercia de la sección. 

9.2.5. Tensión máxima y módulo resistente de la sección: Según la ley de Navier , las tensiones máx en flexión pura se producen en los ptos de la sección más distantes del eje neutro: σxx,max=Mz/Wz donde Wz=Iz/Ymax (modulo resistente) 

9.3. VIGAS CARGADAS TRANSVERSALM: FLEX SIMPLE. FÓRMULA DE COLIGNON

Una viga se encuentra cargada transversalmente cuando todas las fuerzas aplicadas actúan en sentido perpendicular a su eje longitudinal. En este tipo de vigas no existen, por tanto, esfuerzos normales. La distribución de tensiones existente en la sección habrá de equilibrar al momento flector y al esfuerzo cortante originados en ella. 

Tensiones normales originadas por el momento flector: En flexión simple las secciones no permanecen planas después de la deformación sino que experimentan un cierto alabeo producido por el esfuerzo cortante. σxx=Mz*y/Iz. 

Tensión cortante en flexión : Hipótesis: 1. Tensiones tangenciales paralelas al cortante: Txy 2. Uniformes en el espesor o anchura.

10.2. LA CURVA ELÁSTICA

Como hipótesis de cálculo se considerarán las mismas que se establecieron para la deducción de la ley de Navier de las tensiones en flexión pura (comportamiento elástico-lineal, pequeñas deformaciones, secciones planas), y además se desprecia el efecto del esfuerzo cortante en la deformación: se considera, por tanto, únicamente el efecto del momento flector. Se considerarán positivos los momentos !Lectores que producen compresión en los puntos situados por encima del eje neutro y tracción en los puntos situados por debajo, y momentos flectores negativos en caso contrario. El valor de la curvatura en una sección de momento de inercia Iz, en la que actúa un momento flector Mz, será el obtenido al estudiar la distribución de tensiones en flexión pura. 

se concluye que para pequeñas deformaciones, es decir, cuando dy!Dx es una magnitud pequeña y por tanto su cuadrado se puede despreciar frente a la unidad, la curvatura coincide con la derivada segunda de la función,

La ecuación diferencial de la curva elástica es (derivada segunda y momento flector son de signo contrario )

10.3. MÉTODO DEL ÁREA DE MOMENTOS: TEOREMAS DE MOHR

Consiste en evaluar áreas y momentos de áreas en el diagrama de momentos flectores de la pieza. (supongo flexión de la viga cte)

Los momentos se toman respecto de la vertical (primer subíndice). 

1. Proporcionan valores relativos: ángulo entre dos tangentes y distancia de un punto de la elástica a la tangente en otro. 2. No pueden aplicarse estos teoremas entre dos puntos de la elástica si entre ambos hay una rótula intermedia. 3. Al operar con el diagrama de momentos cada parte del diagrama debe ir afectado con su signo correspondiente 

Primer Teorema de Mohr:

Segundo Teorema de Mohr: