Archivo de la categoría: Matemáticas

Fórmulas y Conceptos Esenciales de Matemáticas: Geometría, Álgebra y Trigonometría

13 enero, 2025MatemáticasÁlgebra, fórmulas, geometría, matemáticaswiki

Fórmulas y Conceptos Esenciales de Matemáticas

Geometría

Poliedros

Cálculo del número de aristas (A)

A = Fn / 2

Ejemplo: Determinar el número de aristas de un poliedro con 3 caras cuadrangulares, 2 caras pentagonales y 4 caras triangulares.

A = (3 * 4 + 2 * 5 + 4 * 3) / 2 = 17

Teorema de Euler

V + F = A + 2

Donde:

V: Número de vértices
F: Número de caras
A: Número de aristas

Área y Volumen de una Esfera

Área (A): A = 4πR²
Volumen (V): V = (4/3)πR³

Volumen de una Pirámide y un Cono

V = (A_base * h) Seguir leyendo “Fórmulas y Conceptos Esenciales de Matemáticas: Geometría, Álgebra y Trigonometría” »

Demostraciones Clave en Espacios Normados: Teoremas y Lemas Fundamentales

13 enero, 2025Matemáticasespacio normado, espacios normados, isomorfismo, lema de Riesz, operador lineal, teorema de Hausdorff, topología usualwiki

Lema: Continuidad de Operadores Lineales en Espacios de Dimensión Finita

Para N ∈ ℕ, todo operador lineal de K^N con la topología usual, en cualquier otro espacio normado, es continuo.

Demostración

Sea Y un espacio normado y T : K^N → Y un operador lineal. Denotando por {e₁, e₂,…, e_N} a la base usual de K^N, sea y_k = T(e_k) para todo k ∈ {1,2,…,N}. Se tiene entonces que T(x) = T ( ∑ x(k) e_k ) = ∑x(k)T(e_k) = N ∑ x(k) y_k, ∀x ∈ K^N. Fijado k ∈ {1,2,…,N}, la aplicación x → x( Seguir leyendo “Demostraciones Clave en Espacios Normados: Teoremas y Lemas Fundamentales” »

Conceptos y Propiedades Matemáticas: Álgebra y Cálculo

12 enero, 2025MatemáticasÁlgebra, Cálculo, matemáticas, producto, propiedades de cuerpo, Sumawiki

Propiedades de un Cuerpo

Las propiedades de un cuerpo se dividen en dos operaciones: suma y producto.

Suma

Para todo x, y, z que pertenecen a los números reales (x, y, z ∈ ℝ):

Asociatividad: (x + y) + z = x + (y + z)
Conmutatividad: x + y = y + x
Elemento neutro: Existe un único 0 ∈ ℝ tal que x + 0 = 0 + x = x
Simetría: Para cada x ∈ ℝ, existe un (-x) ∈ ℝ tal que x + (-x) = (-x) + x = 0

Producto

Para todo x, y, z que pertenecen a los números reales (x, y, z ∈ ℝ):

Asociatividad: (x Seguir leyendo “Conceptos y Propiedades Matemáticas: Álgebra y Cálculo” »

Conceptos Clave de Estadística: Medidas de Dispersión, Centralización y Tipos de Variables

12 enero, 2025Matemáticasdesviación típica, Estadística, media, Medidas de dispersión, varianzawiki

Medidas de Dispersión

¿Qué nos indican las medidas de dispersión? La proximidad de los datos a la media.
¿Cuál es la medida de dispersión más útil e importante? La desviación típica.
¿Cómo se denomina a la raíz cuadrada de la varianza? Desviación típica.
¿Cómo se llama a la suma de todos los datos dividida entre el número total de datos? Media.
¿Qué medida solo sirve para variables cuantitativas? Mediana.
¿Cómo se denomina el valor de la variable que tiene mayor frecuencia? Moda. Seguir leyendo “Conceptos Clave de Estadística: Medidas de Dispersión, Centralización y Tipos de Variables” »

Fundamentos de Estadística y Bioestadística: Conceptos Clave

12 enero, 2025Matemáticasbioestadística, Estadística, muestra, poblaciòn, Variableswiki

Fundamentos de Estadística y Bioestadística

ESTADÍSTICA: ciencia que estudia métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir y analizar datos, para realizar inferencias, cuyo carácter esencial es la variabilidad.

BIOESTADÍSTICA: estadística aplicada a la Biología y Ciencias de la Salud.

MÉTODO ESTADÍSTICO: proporciona las técnicas para llevar a cabo o la práctica aquellas etapas del método científico que requieren recolección y análisis de información.

Estadística Descriptiva Seguir leyendo “Fundamentos de Estadística y Bioestadística: Conceptos Clave” »

Conceptos Básicos de Cálculo: Derivadas, Integrales y Área Bajo la Curva

11 enero, 2025Matemáticasárea bajo la curva, Cálculo, derivadas, integraleswiki

Derivadas

Definiciones:

a, b, k = constantes
u, v = variables
K = exponente
‘ = derivada
U = función

Fórmulas de derivadas:

f(x) = k = f'(x) = 0
f(x) = x = f'(x) = 1
f(x) = u^K = f'(x) = K(u^K-1) • (U’)
f(x) = √u = f'(x) = u’ / 2√u
f(x) = ^K√U = f'(x) = U’ / K^k√U^k-1

Integrales

Fórmulas de integrales:

∫Kdx = kx + c
∫xⁿdx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + c

Ejemplos de integrales:

∫³√x²dx = ∫x^2/3 = x^2/3+1 / (2/3+1) + c = x^5/3 / (5/3) + c = 3x^5/3 / 5 + c
∫1/√x³ = 1/x^3/2 = x^-3/2 = x^-3/2+1 / (-3/2+1) + c = x^-1/2 Seguir leyendo “Conceptos Básicos de Cálculo: Derivadas, Integrales y Área Bajo la Curva” »

Teoremas Fundamentales del Cálculo: Demostraciones y Aplicaciones

10 enero, 2025MatemáticasCálculo, Regla de L'Hôpital, Teorema de Cauchy, Teorema de Lagrange, Teorema de Rollewiki

Teorema de Rolle

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b). Además, la función toma valores iguales en los extremos del intervalo, es decir, f(a) = f(b). Entonces, existirá un punto «c» interior al intervalo tal que f'(c) = 0.

1^er caso: Si f(x) es constante, el teorema se demuestra automáticamente, ya que la derivada de una constante es cero.
2º caso: Si f(x) tiene un máximo (M) distinto de f(a) = f(b), la función tendrá un mínimo (m) dentro del intervalo. Seguir leyendo “Teoremas Fundamentales del Cálculo: Demostraciones y Aplicaciones” »

Exploración de Polinomios, Dominios e Irreducibilidad

10 enero, 2025Matemáticasalgoritmo de euclides, anillos, dominios de integridad, factorización única, homomorfismos, irreducibilidad, polinomioswiki

1 Polinomios y funciones

Definición 1 Un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo R es una expresión de la forma:

p(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +…+ a₁x + a₀

donde los coeficientes a_n, a_n-1;…; a₀ son elementos de R.

Definición 2 Cada polinomio p(x) define una función polinómica p(x) : R → R enviando un elemento a a su evaluación en el polinomio, es decir:

a → p(a) = a_naⁿ + a_n-1a^n-1 +… + a₁a + a₀.

Definición 3 Si a_n ≠ 0 entonces p(x) tiene grado n, escribimos gr(p(x)) = n.

Dos polinomios Seguir leyendo “Exploración de Polinomios, Dominios e Irreducibilidad” »

Exploración Detallada de la Integral de Riemann y sus Aplicaciones

10 enero, 2025MatemáticasCurvas de nivel, curvatura, derivada de función vectorial, integral de riemann, longitud de curva, métodos de integración, teorema fundamental del cálculowiki

Integral de Riemann: Definición y Existencia

Definición de la Integral de Riemann: Si f es una función definida en [a,b] y sea P una partición de [a,b], un conjunto de partición X₀, X₁, …, X_n que guardan la relación: a = X₀ < X₁ < … < X_i < X_n = b. ||P|| es la norma de la partición tal que ||P|| = Max(ΔX_i) y X_i* un punto interior de cada subintervalo ΔX_i = X_i – (X_i-1). Entonces, la integral de f definida en [a,b] estará dada por la fórmula: ∫_a^b f(x)dx = lim_||P||→0 Σ_{i= Seguir leyendo “Exploración Detallada de la Integral de Riemann y sus Aplicaciones” »}

Función de Producción a Largo Plazo: Maximizando la Eficiencia Empresarial

9 enero, 2025Matemáticascosto marginal, costo medio, costo mínimo, costo total, equilibrio del empresario, función de producción, isocuantas, producción a largo plazowiki

Función de Producción a Largo Plazo

La función de producción a largo plazo se define como una ecuación o igualdad aritmética que muestra la cantidad máxima de unidades de un bien o el volumen de producción máximo que una empresa puede obtener en su proceso productivo mediante la combinación de diversas cantidades de factor X y de factor Y. A esta función de producción también se le denomina función de producción de proporciones variables.

Aritméticamente, esta función de producción Seguir leyendo “Función de Producción a Largo Plazo: Maximizando la Eficiencia Empresarial” »