Archivo de la categoría: Matemáticas

Función de Producción a Largo Plazo: Maximizando la Eficiencia Empresarial

9 enero, 2025Matemáticascosto marginal, costo medio, costo mínimo, costo total, equilibrio del empresario, función de producción, isocuantas, producción a largo plazowiki

Función de Producción a Largo Plazo

La función de producción a largo plazo se define como una ecuación o igualdad aritmética que muestra la cantidad máxima de unidades de un bien o el volumen de producción máximo que una empresa puede obtener en su proceso productivo mediante la combinación de diversas cantidades de factor X y de factor Y. A esta función de producción también se le denomina función de producción de proporciones variables.

Aritméticamente, esta función de producción Seguir leyendo “Función de Producción a Largo Plazo: Maximizando la Eficiencia Empresarial” »

Propiedades y Demostraciones de Aplicaciones: Inyectividad, Suprayectividad y Biyección

9 enero, 2025Matemáticasaplicaciones biyectivas, aplicaciones inyectivas, aplicaciones suprayectivas, composición de funciones, funciones, matemáticas, teoría de conjuntoswiki

Propiedades de las Aplicaciones

Si X₁ ⊆ X₂ ⊆ A, entonces f(X₁) ⊆ f(X₂).
Si X₁, X₂ ⊆ A, entonces f(X₁ ∪ X₂) = f(X₁) ∪ f(X₂).
Si X₁, X₂ ⊆ A, entonces f(X₁ ∩ X₂) ⊆ f(X₁) ∩ f(X₂).
Si Y₁ ⊆ Y₂ ⊆ B, entonces f⁻¹(Y₁) ⊆ f⁻¹(Y₂).
Si Y₁, Y₂ ⊆ B, entonces f⁻¹(Y₁ ∪ Y₂) = f⁻¹(Y₁) ∪ f⁻¹(Y₂).
Si Y₁, Y₂ ⊆ B, entonces f⁻¹(Y₁ ∩ Y₂) = f⁻¹(Y₁) ∩ f⁻¹(Y₂).

Demostraciones

Si b ∈ f(X₁) existe x ∈ X₁ tal que b = f(x) pero, como también x ∈ X₂ pues X₁ ⊆ X₂, se Seguir leyendo “Propiedades y Demostraciones de Aplicaciones: Inyectividad, Suprayectividad y Biyección” »

Conceptos Fundamentales del Cálculo Integral y Ecuaciones Diferenciales

8 enero, 2025MatemáticasCálculo Integral, integración por partes, integral de riemann, integral definida, integral indefinidawiki

Integral de Riemann

La integral de Riemann se define como:

|^b_a f(x)dx= lim_h→∞ ∑ⁿ_i=1 f(x_i*) . ∆x = lim_h→∞ ∑ⁿ_i=1 f(a + (b-a)/n) . (b-a)/n

Donde:

f es la función integrando.
x_i* se toma como el extremo derecho o superior del i-ésimo subintervalo.
x_i = x_i* = a + i∆x = a + i(b-a)/n

Integración por Partes

Este método se utiliza generalmente cuando el integrando es un producto entre dos funciones, f(x) y g(x).

Partiendo de la regla del producto para derivadas:

d[f(x) . g(x)]/dx = f'(x) . g(x) Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales del Cálculo Integral y Ecuaciones Diferenciales” »

Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Lógica, Conjuntos, Funciones y Estadística

8 enero, 2025Matemáticasaplicaciones, Cálculo, Estadística, funciones, lógica proposicional, tablas de verdad, teoría de conjuntoswiki

Lógica Proposicional y Tablas de Verdad

Cuadro de verdad

p	q
V	V
V	F
F	V
F	F

La disyunción inclusiva (V), es todo V, excepto cuando ambas proposiciones son falsas (F + F = F).
La conjunción (Λ), es todo F, excepto cuando ambas proposiciones son verdaderas (V + V = V).
La implicación (→), es todo V, excepto cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso (V + F = F).

Ejemplos:

«Si conduces no bebas»
Los triángulos S y T… – Sería una falacia.
París, América… – Es lógicamente válido.
Domingo, Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Lógica, Conjuntos, Funciones y Estadística” »

Conceptos Fundamentales de Cálculo: Ecuaciones Diferenciales, Integrales y Vectores

8 enero, 2025Matemáticascálculo vectorial, ecuaciones diferenciales, ecuaciones diferenciales de variables separables, ecuaciones diferenciales homogéneas, integración por partes, integral de riemann, integrales, teorema fundamental del cálculowiki

Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial establece una relación entre la variable independiente (x), la función buscada y=f(x) y sus derivadas, y´, y´´, …, yⁿ o sus diferenciales dx, dy.

Forma general: F(x,y,y´,y´´,…,yⁿ)=0 (forma implícita)

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales

Orden: Es el orden de la derivada superior que interviene en la ecuación.
Tipo: Ordinarias o en derivadas parciales.
Grado: Es el exponente de la máxima potencia de la derivada de mayor orden.
Linealidad: Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales de Cálculo: Ecuaciones Diferenciales, Integrales y Vectores” »

Conceptos Fundamentales del Cálculo: Puntos Fijos, Sucesiones y Teoremas Clave

8 enero, 2025Matemáticasconvergencia, punto fijo, sucesiones, teorema de Stolzwiki

Punto Fijo

Sea f:[a,b]→[a,b] una función continua. Entonces f tiene al menos un punto c∈[a,b] tal que f(c)=c. Estos puntos se llaman puntos fijos de f.

Demostración: Notar que si f:[a,b]→[a,b] entonces f(a),f(b)∈[a,b] luego a≤f(a),f(b)≤b. Definiendo la función auxiliar g(x)=f(x)-x, continua en [a,b], ésta verifica que g(a)=f(a)-a≥0 y g(b)=f(b)-b≤0.

Si g(a)=0 entonces f(a)=a (a es un punto fijo)
Si g(b)=0 entonces f(b)=b (b es un punto fijo)

En otro caso, g(a)>0 y g(b)<0.

Sucesiones

Definición Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales del Cálculo: Puntos Fijos, Sucesiones y Teoremas Clave” »

Ejercicios resueltos de trigonometría y proporcionalidad de triángulos

8 enero, 2025Matemáticasárea, perímetro, proporcionalidad, razón de proporcionalidad, teorema del seno, Triángulos, trigonometríawiki

1. Cálculo de lados de triángulos semejantes

La razón de proporcionalidad “k” de dos triángulos semejantes T y T’ es 2,3. Sabiendo que los costados del pequeño son a = 5 cm, b = 7 cm y c = 8 cm, calcula los lados del triángulo grande.

a’ = 2,3 * 5 cm = 11,5 cm
b’ = 2,3 * 7 cm = 16,1 cm
c’ = 2,3 * 8 cm = 18,4 cm

2. Cálculo de la razón de proporcionalidad

El perímetro del triángulo T es 12 dm y el de T’ es 2,8 m. Calcula la razón de proporcionalidad.

Para trabajar con la misma magnitud, Seguir leyendo “Ejercicios resueltos de trigonometría y proporcionalidad de triángulos” »

Soluciones a Ecuaciones Diferenciales: Métodos y Aplicaciones

7 enero, 2025Matemáticasdecaimiento radiactivo, ecuaciones diferenciales, factor integrante, matemáticas aplicadas, método de Euler, problema de valor inicial, regla de Simpsonwiki

Decaimiento Radiactivo: Determinación de la Masa en Función del Tiempo

Ejercicio 2.3.23

Suponga que la tasa con la que un elemento radiactivo (RA) decae es 40e^-20t y la constante de decaimiento k = 5/s. Determine la masa para t con y₀ = 10.

Procedemos de manera similar al Ejemplo 2 en la página 52 y obtenemos un análogo del problema del valor inicial (13), es decir,

dy / dt + 5y = 40e^-20t, y(0) = 10. (2.10)

Así P(t) ≡ 5 y µ(t) = e^∫5dt = e^5t. Multiplicando la ecuación Seguir leyendo “Soluciones a Ecuaciones Diferenciales: Métodos y Aplicaciones” »

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal y Teoría de Conjuntos

7 enero, 2025Matemáticasálgebra lineal, aplicación lineal, endomorfismo, Espacios Vectoriales, Imagen, núcleowiki

Aplicaciones Lineales

Definiciones

Una aplicación lineal f: E → E’ es un homomorfismo de K-espacios vectoriales. Dados e₁, e₂ ∈ E y λ, μ ∈ K, se cumple que f(λe₁ + μe₂) = λf(e₁) + μf(e₂).

Una aplicación lineal f: E → E de un K-espacio vectorial en sí mismo es un endomorfismo.

Núcleo e Imagen de una Aplicación Lineal

Sea f: E → E’ una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales.

Se llama imagen de f, denotada por Im(f), al conjunto f(E), es decir, Im(f) = {e’ ∈ E’ / ∃e ∈ Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal y Teoría de Conjuntos” »

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Teoremas y Demostraciones

6 enero, 2025Matemáticasálgebra lineal, Espacio Vectorial, subespacio vectorial, teorema de Rouché-Frobeniuswiki

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea AX = B un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

Si rg(A) ≠ rg(A*), el sistema es incompatible.
Si rg(A) = rg(A*) = n, el sistema es compatible determinado.
Si rg(A) = rg(A*) < n, el sistema es compatible indeterminado.

Espacio Vectorial: Definición y Propiedades

Sea V un conjunto no vacío. Supongamos que en V hay definida una operación suma, que denotaremos por +, y una operación producto por un escalar, que denotaremos por *. Diremos que (V, +, Seguir leyendo “Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Teoremas y Demostraciones” »