Teorema de Rolle

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b). Además, la función toma valores iguales en los extremos del intervalo, es decir, f(a) = f(b). Entonces, existirá un punto «c» interior al intervalo tal que f'(c) = 0.

• 1^er caso: Si f(x) es constante, el teorema se demuestra automáticamente, ya que la derivada de una constante es cero.
• 2º caso: Si f(x) tiene un máximo (M) distinto de f(a) = f(b), la función tendrá un mínimo (m) dentro del intervalo. Por la condición necesaria para la existencia de un máximo, la primera derivada es igual a 0.
• 3^er caso: Si f(x) tiene un mínimo (m) distinto de f(a) = f(b), la función tendrá un máximo (M) dentro del intervalo. Por la condición necesaria para la existencia de un mínimo, la primera derivada es igual a 0.
• 4º caso: Si el máximo (M) y el mínimo (m) son distintos de f(a) y f(b), la función presentará dichos puntos en el interior del intervalo, donde f'(c₁) = 0 y f'(c₂) = 0.

Teorema de Lagrange (Teorema del Valor Medio)

Sea f(x) una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces, existe al menos un punto c perteneciente al intervalo donde se verifica que f'(c) es igual al cociente entre el incremento de la función determinado por los extremos del intervalo [a, b] y la amplitud del mismo. Gráficamente, f(a) y f(b) determinan los puntos A y B, y estos la recta secante. La recta tangente (t) es paralela a la secante «s» y tiene un punto de contacto con la curva, cuya abscisa «c» cumple con la condición a < c < b.

Teorema de Cauchy

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Existirá un punto «c» interior al intervalo de manera tal que se verifica la siguiente relación:
(f(b) – f(a)) / (g(b) – g(a)) = f'(c) / g'(c)

Regla de L’Hôpital

Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas y derivables en un intervalo que se anulan en x = a. Existe un cociente f(x) / g(x) en x = a que es indeterminado. Pero sí es posible calcular el límite de dicho cociente cuando x → a. Aplicando el Teorema de Cauchy para las funciones f(x) y g(x) en el intervalo [a, x], se obtiene…

Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral

Si una función y = f(x) es continua en [a, b], existe en este intervalo un punto ε, tal que se verifica: ∫_a^b f(x) dx = f(ε) · (b – a).

La función f(x) tiene en [a, b] un mínimo (m) y un máximo (M) respectivamente. Consideramos la superficie determinada:

El teorema demuestra que el área bajo la curva es equivalente al área de un rectángulo, cuya base es la amplitud del intervalo (b – a) y la altura la ordenada de un punto interior al intervalo f(ε).

Regla de Barrow

Si F(x) es una primitiva de la función continua f(x) definida en un intervalo [a, b], se verifica que ∫_a^b f(x) dx = F(b) – F(a), donde F(x) es la primitiva.

Demostración: ∫ f(x) dx = F(x) + C

Ecuaciones Diferenciales

Se llama así a la expresión matemática que contiene derivadas o diferenciales de una función desconocida que pretendemos encontrar. Se clasifican en:

• Ordinarias: Tienen derivadas o diferenciales de funciones de una sola variable.
• Con derivadas parciales: Tienen derivadas o diferenciales de una función en más de una variable.

Orden de la ecuación: Lo determina la derivada o diferencial de mayor orden contenido en ella.

Grado de la ecuación: Está determinado por la potencia que tiene la diferencial o derivada de mayor orden.

Ecuación Diferencial Homogénea

Tiene la forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, donde M(x, y) y N(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado. Dividiendo todo por N(x, y)…

Como es una función homogénea de grado cero, se puede expresar como una función que depende de y / x (propiedad de las funciones homogéneas).

Ecuación Diferencial Exacta

Dada la ecuación diferencial P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, se cumple que ∂P / ∂y = ∂Q / ∂x.

Nota: La constante «C» depende de «y» porque integramos con respecto a «x«. Para hallar el valor de la constante, derivamos con respecto a «y«.

Ecuación Lineal de Primer Orden

Su forma canónica es: dy / dx + P(x) · y = Q(x)

Integrales Definidas

Pretendemos calcular el área encerrada por la curva y = f(x), el eje «x» y las rectas x = a y x = b. Para ello, dividimos [a, b] en «n» subintervalos, cuyas amplitudes pueden ser iguales o distintas. De cada subintervalo tomamos el centro y calculamos su ordenada, que multiplicada por la amplitud de cada intervalo nos da el área de un rectángulo.

Propiedades de las Integrales Definidas

1. Propiedad lineal: Los factores que son constantes podemos extraerlos del signo integral.
2. Si permutamos los extremos de integración, el resultado será el opuesto.
3. Si los extremos de integración son iguales, el resultado es igual a cero.
4. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de cada función.

Derivadas

Dada una función y = f(x), se llama derivada primera de una función, y se escribe f'(x), al límite, si existe, del cociente incremental Δy / Δx cuando el incremento de la variable independiente tiende a 0.

Cociente Incremental

Relación entre el incremento de la función Δy y el incremento de la variable independiente Δx.

Regla General de Derivación

Dada la función y = f(x) definida en los reales:

1. Se incrementa la variable independiente, reemplazando en la función x por x + Δx y se calcula el valor de la función incrementada (y + Δy).
2. Se resta al valor (y + Δy) la función primitiva y se obtiene Δy.
3. Se calcula el cociente incremental dividiendo todo por Δx.

Límite Doble

Decimos que f(x, y) tiene como límite el número L cuando (x, y) tiende a un valor (x₀, y₀) si para cada número real ε > 0 existe otro número real ζ > 0, que depende en general de ε, tal que para todo punto (x, y) del entorno reducido del punto (x₀, y₀) de radio ζ resulta: |f(x, y) – L| < ε.

Integral Doble

El concepto de integral definida mide áreas bajo un arco de curvas. Se puede generalizar este concepto para funciones de volumen bajo un trozo de superficie. Tratamos de calcular el volumen limitado por una superficie continua de ecuación z = f(x, y).

Subdividimos los intervalos [a, b] y [c, d] en M y n partes respectivamente, obteniendo subintervalos de amplitud Δx_i y Δy_j no necesariamente iguales. El recinto de integración queda dividido en m · n rectángulos, siendo la base de cada uno de ellos Δ_ij = Δx_i · Δy_j. Consideramos un punto (x_i, y_j) interior a cada rectángulo. A cada uno de dichos puntos le corresponde una función f(x_i, y_j), siendo el volumen de cada uno de esos prismas f(x_i, y_j) · (Δx_i · Δy_j). Sumando los m · n volúmenes, obtendremos el volumen aproximado.