PAPER # 9 ENERGIA DE UN SISTEMA

Existen problemas de dinámica, en donde se los puede resolver aplicando las leyes de Newton y una combinación de cinemática directamente y una alternativa de su solución es aplicar otro método diferente, que es el caso de la energía, lo cual en algunos casos puede simplificar la solución del problema.

Todo proceso físico en la realidad implica la presencia de energía y transformaciones de energía, en donde no se recurre a las leyes de Newton.

En este nuevo enfoque se cambia el análisis de consideración de un objeto como partícula al análisis de un modelo de sistema.

Modelo de Sistema

Estudia el comportamiento observado en base a hechos fundamentales e interacciones de un objeto, varios objetos, un espacio, etc. Se estudia un fenómeno  concreto a través de una solución simplificada. 

Ejemplos de sistemas son:

                  – Un objeto simple o partícula.

                  – Varios objetos o partículas.

                  – Una porción de espacio definida.

                  – Un objeto u objetos que se deforman.

Trabajo realizado por una fuerza constante sobre un objeto (W)

Si se tiene un objeto sobre una superficie plana y sobre el objeto se aplica una fuerza que forma un ángulo (θ) con la horizontal con una magnitud suficiente para vencer el rozamiento estático  y desplazar al cuerpo desde su posición inicial a una posición final, entonces al producto de la fuerza en la componente del desplazamiento por la distancia desplazada se le conoce como trabajo.  Pese a que en el fenómeno físico intervienen dos vectores (fuerza y desplazamiento) , El trabajo es una magnitud escalar ya que es el producto punto de estos dos vectores).  La unidad de medida del trabajo es Newtons por metro que equivale a 1 Joule (J), que es la misma unidad de la energía.

Si se aplica una fuerza sobre un objeto y el objeto no se mueve, entonces no se realiza trabajo.

En el ejemplo anterior la fuerza aplicada tiene una dirección de θ respecto a la dirección del desplazamiento, pero solamente la componente de la fuerza que actúa en la dirección del desplazamiento realiza trabajo y la componente perpendicular al desplazamiento no realiza trabajo ya que el valor del desplazamiento vertical es cero, puesto que el cuerpo se mueve solamente en el plano horizontal. 

Lo indicado en el último párrafo se confirma si se aplicaría una fuerza  θ = 90◦, el coseno de 90◦ es cero por lo tanto el trabajo es cero.

Si para el ejemplo del dibujo se realiza un diagrama del cuerpo libre se tendría que la única fuerza que ejerce trabajo es la fuerza F en la dirección del desplazamiento (F.cosθ):

Si se realiza un grafico de Fx =F.Cos (θ) en función de X, al ser F constante se tendría:

Se observa que el área bajo la curva corresponde al producto de Fx* X que es igual al trabajo.

El signo del trabajo va a depender del sentido de la fuerza Fx en relación con el sentido del desplazamiento, por lo que el trabajo de la fuerza será positivo si tanto la componente de la fuerza y el sentido del desplazamiento tienen el mismo sentido , pero si el sentido de la fuerza es contrario al sentido del desplazamiento, el trabajo será negativo.

Por ejemplo si se aplica una fuerza vertical para levantar una masa desde una posición inicial (Yi) hasta una posición final (Yf), la fuerza externa realiza un trabajo sobre el cuerpo que está en la misma dirección del desplazamiento, por lo tanto el trabajo que realiza la fuerza externa es positivo. Por otro lado el peso es una fuerza que actúa en una dirección opuesta al desplazamiento por lo que realiza un trabajo negativo.

En el ejemplo anterior si solamente se sostiene un cuerpo en el espacio por efecto de una fuerza pero no existe desplazamiento, entonces por la definición establecida, no existe trabajo.

Trabajo realizado por una fuerza Variable sobre un objeto

Si existe una fuerza (F) que varia con la distancia (x) y se realiza una representación grafica de F=f(x), se puede observar que el área bajo la curva corresponde al trabajo, al igual que en el caso de una fuerza constate.

En el caso que existan varias fuerzas que actúan sobre un sistema y el sistema se pueda modelar como una partícula, entonces el trabajo neto que realiza la fuerza  será igual al trabajo realizado en el sistema entre dos limites Xi y Xf o a y b, y su  resultado es la integral bajo la curva. La integral se calcula con respecto a la trayectoria de la partícula en el espacio.

Calculo del trabajo a partir de una grafica F=f(x)

Si se tiene una función definida de F=f(x), el trabajo neto entre los limites definidos xi, y xf, será igual a la suma de aéreas bajo la curva.

Trabajo consumido por un Resorte (Ws)

Un resorte es un elemento mecánico que tiene la característica de poder estirarse o comprimirse frente a la presencia de una carga y mientras la carga tenga un comportamiento dentro de la ley de Hooke (los desplazamientos son proporcionales a la fuerza aplicada), esta proporción es la constante  k del resorte. Al desaparecer la carga, el resorte recuperara su posición inicial. Para estirar o comprimir un resorte se aplica una fuerza externa en la dirección del desplazamiento, sin embargo por el principio de acción y reacción, el resorte realiza una fuerza en sentido opuesto a la fuerza externa aplicada.

K = es la constante del resorte y depende de las propiedades mecánicas del material y corresponde a la pendiente en la grafica F=f(x) del resorte.

Fs= fuerza ejercida por el resorte como consecuencia de una fuerza externa aplicada, del mismo modulo y dirección, pero con sentido contrario. Cuando no existe una fuerza externa que haga que el resorte se estire o comprime, el valor de Fs es cero.

ΔX =  corresponde a la diferencia entre la posición de equilibrio del bloque (no deformado) y la posición una vez que se halla deformado (comprimido o estirado).  

El signo negativo se debe a que la acción de la fuerza del resorte es siempre opuesta a la dirección del desplazamiento con respecto a su posición de equilibrio (no importa si esta comprimido o estirado).

De la grafica anterior, el área bajo la curva de Fs=f(x) = kx cuando se estira o comprime una distancia x, el trabajo que corresponde al área bajo la curva o por integración es:

Si el trabajo de un resorte se realiza entre dos puntos, en donde uno de ellos no es la posición de equilibrio, el trabajo neto se obtiene al aplicar los valores inicial y final de la posición del resorte respecto al origen de referencia.

Si se considera un caso ideal sin rozamiento en donde se comprime un resorte hasta una posición Xi= – Xmax a la izquierda del grafico siguiente, la fuerza externa que actúa sobre el resorte se dirige hacia la izquierda, mientras que la fuerza interna del resorte Fs actúa hacia la derecha, el trabajo generado por la fuerza Fs se muestra en el grafico final y es positivo ya que la fuerza interna Fs actúa en la dirección del desplazamiento (hacia la derecha), el valor del trabajo corresponde a W1=[k*(Xmax)^2]/2.

Cuando el resorte rebasa la posición de reposo y continua su movimiento hacia la derecha y debido a que no se considera el efecto de rozamiento el resorte alcanzara su posición máxima Xf= + Xmax, en este caso la fuerza interna del resorte FS actúa hacia la izquierda mientras que el desplazamiento  sigue siendo hacia la derecha, lo cual genera el trabajo representado en la ultima figura y corresponde a un valor W2 = – [k*(Xmax^2)/2]. Entonces el trabajo neto entre Xi= – Xmax hasta xf= Xmax, en donde |Xi| = |Xf|, genera un trabajo neto igual a cero. Es decir si el resorte se contrae y luego se estira una misma distancia, el trabajo neto será cero.

El trabajo que realiza un fuerza externa (F) sobre el resorte, tiene un sentido opuesto al trabajo que realiza la fuerza interna del Resorte ya que aunque la magnitud igual a la fuerza del resorte es igual, pero de sentido contrario.

El trabajo realizado por la fuerza externa va a realizarse por la fuerza que actúa siempre en la dirección del desplazamiento, se que el resorte se comprima o estire.

Energía Cinética y Teorema: Trabajo – Energía Cinética

Si sobre un sistema actúan varias fuerzas, de las cuales se puede obtener una fuerza resultante en la dirección del desplazamiento, entonces el trabajo de esta fuerza resultante es :

 Si la sumatoria de fuerzas corresponde a un movimiento acelerado, entonces al considerar la segunda ley de Newton:

Al reemplazar esta ecuación en la de trabajo y resolviendo la integral se tiene:

A  cada uno de cada uno de los términos de la ultima ecuación que  tiene como referencia el movimiento de la partícula se le conoce como energía cinética final e inicial de la partícula.

La energía cinética al igual que el trabajo es una cantidad escalar y tiene las mismas unidades del trabajo, es decir en el sistema internacional es el Joule ( 1 J = N. m).

A través de la ecuación que relaciona el trabajo total con la energía cinética, se puede observar la transformación del trabajo realizado sobre una partícula por una fuerza neta (ΣF) es igual al cambio de energía cinética de la partícula, por lo tanto la  formula anterior puede reescribirse como:

Esta ultima ecuación se conoce como teorema trabajo – energía cinética, cuyo enunciado es el siguiente:

“ Cuando se consume trabajo en un sistema y el único cambio en el sistema es en su rapidez, el trabajo neto consumido en el sistema es igual al cambio en energía cinética del sistema.”

El teorema anterior es válido tanto para un sistema con movimiento de traslación, como para uno con movimiento de rotación.  Sin embargo si la rapidez tangencia es constante, no se ejercerá trabajo ni habrá un cambio de energía cinética.

En las ecuaciones anteriores si la velocidad de una partícula o un sistema, son iguales en los momentos analizados, la diferencia de energía  cinética será cero, por lo tanto la energía cinética es independiente de la trayectoria y de las variaciones de la rapidez (modulo de la velocidad) existentes entre los diferentes puntos, solo considera situaciones puntuales de velocidad y por ende de energía cinética.

Energía Potencial de un Sistema

Este tipo de energía se debe a la interacción de fuerzas internas del sistema. Si se levanta un objeto desde un nivel inicial hacia un nuevo nivel, existe un desplazamiento vertical y la fuerza necesaria para levantar el objeto. La fuerza que se ejerce para levantar el objeto debe vencer la fuerza generada por el peso. Si el objeto esta en reposo antes de levantarlo y después de alcanzar el nivel deseado nuevamente alcanza el reposo, en base a lo visto en la sección anterior, no existe un cambio en las emergía cinética ya que inicia y termina en reposo. Si luego de haberlo levantado se deja caer el libro, se generara una energía cinética, por lo tanto como la energía se transforma, significa que el haber levantado el libro entre una diferencia de niveles genera un tipo de energía que tiene el potencial de convertirse en energía cinética, por lo tanto la energía que se acumula antes de liberarla y convertirse en energía cinética se llama energía potencial.      

Si el objeto que se levanta desde una posición inicial hasta un nuevo nivel que sería la posición final,  y  si el movimiento se realiza a velocidad constante, entonces el trabajo que realiza la fuerza  externa (que es igual a la fuerza gravitacional = m*g), el trabajo generado es:

En este caso la única fuerza que interviene en el sistema  corresponde a la fuerza necesaria para vencer la fuerza gravitatoria, por lo que se observa que el trabajo neto corresponde al cambio de la energía entre dos puntos, a esta energía se llama energía potencial gravitatoria, definida por:  

Esta ecuación implica que el trabajo neto realizado sobre una partícula corresponde al cambio de energía potencial gravitacional del sistema.       Es importante destacar que el cambio de energía potencial de un sistema solo depende de los niveles inicial y final sin importar su trayectoria, por ende si las posiciones inicial y final son iguales, no existirá cambio en la energía potencial gravitatoria. Por otro lado independientemente de la trayectoria que se siga si un cuerpo se mueve entre dos niveles con diferentes trayectorias, la energía potencial gravitaría será la misma.

Por ejemplo si un objeto es elevado verticalmente entre dos niveles o es mueve a través de una rampa y alcanza el mismo desnivel que el anterior y si se desprecia la fuerza de rozamiento, en ambos casos el trabajo realizado sobre el sistema es el mismo.

Energía Potencial Elástica

Así como se definió la energía potencial gravitatoria como la energía que tiene un potencial para convertirse en energía cinética, así mismo si se comprime un resorte y se lo libera, el resorte almacena un tipo de energía interna que es capaz de convertirse en energía cinética.  El trabajo que realiza una fuerza externa sobre un resorte se había determinado por”

Lo anterior corresponde a una diferencia entre dos puntos, a estos puntos corresponde la energía potencial elástica desarrollada, la misma que tiene que ver con las posiciones inicial y final con respecto a su posición de equilibrio, entonces:

De lo anterior se desprende que la energía potencial elástica de un sistema es cero si el resorte no se halla deformado ( es decir se encuentra en su posición de reposo). Debido a que sea que el resorte este deformado o comprimido el cuadrado del desplazamiento es positivo, significa que la energía del resorte será siempre  positiva con cualquier tipo de resorte.

Fuerzas conservativas y no conservativas

En los diferentes fenómenos físicos, se pueden presentar estos dos tipos de fuerza. Las fuerza conservativas se las puede identificar por las siguientes propiedades:

1. El trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre una partícula móvil entre dos puntos, es independiente de la trayectoria tomada por la partícula.

                  2)  El trabajo realizado por una fuerza conservativa, sobre una partícula móvil,  a lo largo de una trayectoria cerrada es cero (punto de partida y llegad idénticos).

Ejemplo de fuerzas conservativas:

                  – La fuerza gravitacional (peso).

                  – La fuerza de un resorte.

Ejemplo de fuerza no conservativa:

                  – La fuerza de rozamiento.

Las fuerzas no conservativas son aquellas que no cumplen los aparatados 1) y 2), descritos anteriormente.