Transformación Lineal en Espacios de Estado

Partiendo de un modelo de estado cualquiera y conociendo la matriz de transformación T(t), se puede obtener una nueva representación de estado. Esto es lo que se denomina una transformación lineal en el espacio de estado. Lo que se está haciendo es un cambio de base, por lo que el vector de estado x(t) viene definido por distintas componentes, pero sigue siendo el mismo. La matriz de transformación T(t) es tal que sus columnas representan las coordenadas de los vectores que constituyen la nueva base expresados en la base antigua. La situación más común es que la matriz de transformación T sea invariante, es decir, que no dependa del tiempo, lo que simplifica la expresión de las matrices del modelo de estado en la nueva base:

• A(t) = T^-1 A(t)T
• B(t) = T^-1 B(t)
• C(t) = C(t)T
• D(t) = D(t)

Sistemas Dinámicos Lineales

En primer lugar, es necesario conocer si un sistema dinámico dado es o no lineal. Para ello se le aplica el test de superposición: Se tiene un sistema que partiendo de un estado inicial cualquiera x₁(t₀), con una entrada cualquiera u₁(τ), t₀ < τ < t, responde con una salida y₁(t). Si partiendo de un estado inicial x₂(t₀), con una entrada cualquiera u₂(τ), t₀ < τ < t, responde con una salida y₂(t), entonces el sistema es lineal si al aplicar una entrada αu₁(τ) + βu₂(τ), partiendo del estado inicial αx₁(t₀) + βx₂(t₀), la salida es αy₁(t) + βy₂(t).

Función de Transferencia y Modelo de Estado

Es posible obtener, a partir de la representación del estado de un sistema lineal e invariante, la función de transferencia. Si el sistema no cumple con estas dos condiciones, linealidad e invarianza, no es posible establecer esta relación, puesto que el modelo de la teoría clásica requiere que el sistema cumpla con estas condiciones. La expresión de un sistema lineal e invariante es:

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

En principio, todas las variables son vectores:

sX(s) – x(0) = AX(s) + BU(s)

donde x(0) es el vector de condiciones iniciales. Si x(0) = 0 entonces:

(sI – A)X(s) = BU(s)

X(s) = (sI – A)^-1BU(s)

Y(s) = CX(s) + DU(s) = C(sI – A)^-1BU(s) + DU(s)

Y(s) = (C(sI – A)^-1B + D)U(s)

G(s) = C(sI – A)^-1B + D

De esta manera, se tiene una relación entre la función de transferencia de la teoría clásica y el sistema de estado de la teoría moderna.

Propiedades de la Matriz de Transición de Estado

1. Propiedad de derivación con respecto al tiempo: dI(t,t₀)/dt = İ(t,t₀) = A(t)I(t,t₀)
2. Valor en el instante t = t₀: I(t₀,t₀) = I (matriz unidad)
3. Transitividad: I(t₂,t₀) = I(t₂,t₁) * I(t₁,t₀)
4. Inversión de tiempos: I(t₀,t₁) = I^-1(t₁,t₀)
5. Cambio de representación de estado: si x(t) = T(t)x̃(t) entonces Ĩ(t,t₀) = T^-1(t) * I(t,t₀) * T(t₀)

Solución de la Ecuación de Estado Completa

La solución de la ecuación completa es:

x(t) = I(t, t₀)x₀ + ∫_t0^t I(t, τ)B(τ)u(τ)dτ

Se observa que la solución completa de la ecuación de estado es una suma de dos términos:

• El primero representa la evolución libre del sistema propiciada por la situación inicial de las variables de estado o, dicho de otro modo, debida a las condiciones iniciales cuando la entrada es nula. Como puede verse, este término existe si y sólo si existen condiciones iniciales no nulas.
• El segundo representa la evolución forzada del sistema, debida a la acción producida por la entrada del sistema.

Controlabilidad en Sistemas Lineales e Invariantes

Dada la expresión de la solución completa de la ecuación del estado para sistemas lineales:

x(t₁) = I(t₁, t₀)x(t₀) + ∫_t0^t₁ I(t₁, τ)B(τ)u(τ)dτ

Si en esta expresión se fija x(t₁) y x(t₀), ¿existe una entrada u(τ) que soluciona esta ecuación? El estudio de controlabilidad determina si existe una entrada u(t) que haga que se cumpla la igualdad.

Teorema de Controlabilidad de un Sistema Lineal

Dado un sistema con la ecuación de estado ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), es controlable en (t₀, t₁) si y solo si la matriz W(t₁, t₀) definida por:

W(t₁, t₀) = ∫_t0^t₁ I(t₁, τ)B(τ)B^T(τ)I^T(t₁, τ)dτ

es no singular, y en ese caso el sistema es controlable.

Controlabilidad en Sistemas Lineales Invariantes

Dado el sistema de orden n con ecuación de estado ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), es controlable si y solo si la matriz de controlabilidad Q definida como:

Q = (B | AB | A²B | … | A^n-1B)

es de rango máximo, es decir, de dimensión n (R(Q) = n).

Invarianza de Controlabilidad ante el Cambio de Base

La controlabilidad de un sistema es independiente de la representación de estado que se maneje.

Subespacio Controlable

Dado el sistema lineal invariante con dimensión del subespacio controlable R(Q), ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), existe una matriz de transformación T, tal que si se efectúa dicho cambio de base x(t) = Tx̃(t), las nuevas matrices serán de la forma:

à = T^-1AT, B̃ = T^-1B

El sistema x̃_a cuya dimensión viene representada por Ã_aa, B̃_a es controlable. Notar que el subsistema x̃_b tiene un comportamiento independiente de la entrada. La matriz T se constituye como T = (T_a | T_b) donde T_a se forma con las columnas linealmente independientes de Q y T_b está formado por n – R(Q) vectores linealmente independientes entre sí y T_a.

Teorema de Observabilidad en Sistemas Lineales

Dado un sistema definido por las ecuaciones ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t), es observable en (t₀, t₁) si y solo si la matriz:

C(t₀, t₁) = ∫_t0^t₁ I^T(τ, t₀)C^T(τ)C(τ)I(τ, t₀)dτ

es no singular (si el rango de la matriz es n).