TRANSFORMADA DE LAPLACE.
LA CAPACIDAD DE OBTENER Aproximación LINEALES DEL SISTEMA Físico PERMITE AL ANALISTA CONSIDERAR EL USO DE LA TRANSFORMADA DE LA ´PLACE.
EL Método DE LA TRANSFORMADA DE LA PLACE SUSTITUYE POR ECUACIONES ALGEBRAICAS LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.
LA Solución PARA LA RESPUESTA GENERAL SE OBTIENE MEDIANTE LAS SIGUIENTES OPERACIONES:
OBTENER LA Ecuación DIFERENCIAL
OBTENER LA TRANSFORMADA DE LA PLACEDE LA Ecuación DIFERENCIAL
RESOLVER LA TRANSFORMADA ALGEBRAICA RESULTANTE PARA LA VARIABLE DE Interés
LA TRANSFORMADA INVERSA DE LA PLACE ES DEVOLVER EL CAMBIO
DE ESTAS INTEGRALES DE Transformación SE HAN DEDUCIDO LAS TABLAS DE TRANSFORMADAS DE LA PLACE.
LA TRANSFORMADA INVERSA DE LA PLACE GENERALMENTE SE OBTIENE USANDO EL DESARROLLO DE FRACCIONES SIMPLES.
LO QUE LOGRAMOS AL APLICAR UNA TRANSFORMADA DE LA PLACE ES OBTENER UNA Función DE TRANSFERENCIA DEL SISTEMA Q REPRESENTA LA Relación DE LA SALIDA DEL SISTEMA CON RESPECTO A LA ENTRADA.
REPRESENTACIONES DE SISTEMAS LINEALES EN TIEMPO DISCRETO.
UNA HERRAMIENTA Matemática MUY USADA EN EL Análisis LA Síntesis DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO ES LA TRANSFORMADA Z.
EL PAPEL DE ESTA EN SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO ES SIMULAR AL DE LA PLACE EN TIEMPO CONTINUO.
EN UN SISTEMA DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO UNA Ecuación EN DIFERENCIA LINEAL CARACTERIZA LA Dinámica DEL SISTEMA PARA DETERMINAR LA RESPUESTA DEL SISTEMA A UNA ENTRADA DADA SE DEBE RESOLVER DICHA Ecuación EN DIFERENCIA.
CON EL Método DE LA TRANSFORMADA Z LA Solución EN Ecuación DE DIFERENCIA SE CONVIERTE EN UN PROBLEMA DE Ecuación ALGEBRAICA.
RECORDEMOS QUE UNA SEÑAL EN TIEMPO DISCRETO LA PODEMOS DESCRIBIR COMO X(K) O X(K)T.
T ES EL PERIODO DE MUESTREO.
LA TRANSFORMADA Z SE APLICA A LA SEÑAL EN TIEMPO CONTINUO X(T) A LA SEÑAL MUESTRADA X(K)T Y LA SECUENCIA DE Números PARA UNA SEÑAL DISCRETA X(K)
2X(T-2)+2X(T+3)=0
-2X(N-1)+4X(N+3)=0
TRANSFORMADA Z
ES UN Método OPERACIONAL EXCELENTE CUANDO SE TRABAJA CON SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETOS.
AL CONSIDERDAD LA TRANSFORMADA Z DE UNA Función DEL TIEMPO SOLO SE TOMA EN CUENTA LOS VALORES DE X(T) ESTO ES
X(0):X(T):X(2T) O CUALQUIERA DE LOS ANTES NOMBRADOS DONDE T ES EL PERIODO DE MUESTREO ENTONCES LA TRANFORMADA Z DE UNA Función DEL TIEMPO X(T) DONDE T ES + O DE LA SECUENCIA X(K) T DONDE K ADOPTA VALORES DE 0 DE VALORES ENTEROS POSITVOS Y DE T ES EL PERIODO DEL MUESTREO
X(Z)=Z(x(+1)=Z(X(KT))=SX(KT).Z-K
LA TRANSFORMADA INVERSA Z SE PUEDE OBTENER POR DIVERSOS Métodos COMO POR EJEMPLO LA División DIRECTA, Método COMPUTACIONAL, ESPANCION EN Fracción PARADA O EL Método DE LA INTEGRAL DE INVERSA.
PROPIEDADES
- PROPIEDAD Multiplicación POR UNA CONSTANTE
Z(Ax(H))=Az(x(h))=Ax(Z)
DONDE X(Z) ES LA TRANSFORMADA Z
- PROPIEDAD LINEALIDAD DE LA TRANSFORMADA Z
SI F(K) Y G(K) SON SEÑALES Y TIENEN TRANSFORMADA Z Y A SU VEZ a Y b SON ESCALARES: ENTONCES X(k) FORMADA POR LA CONVERSIÓN LINEAL DE ESAS DOS SEÑALES
X(K)= aF(K)+ bG(K)
VIENE LA TRANSFORMADA Z GUAL A:
X(Z)= aF(Z)+ bG(Z)
DONDE F(Z) Y G(Z) SON LAS TRANSFORMADAS DE F(K) Y G(K) RESPECTIVAMENTE
PROPIEDAD
Multiplicación POR ak SI X(Z)A LA TRANSFORMADA DE X(K) ENTONCES LA TRANSFORMADA Z DE ak ESTA DADA POR:
Z(ak X(K))=X a-1 Z)=X(Z/a)
TEOREMA
1)TEOREMA DE CORRIMIENTO
-SE CONOCE También COMO TEOREMA DE Traslación REAL
SI X(T)=0 PARA T<0 y=»» x(t)=»» tiene=»» transformada=»» z,=»» x(z),=»»>0>
TEOREMA DE Translación COMPLEJA
SI X(T) TIENE LA TRANSFORMADA Z X(Z) ENTONCES LA TRANSFORMADA Z DE e-At X(T) ESTA DADA POR X(Z eAT
TEOREMA DEL VALOR INICIAL
SI X(T) TIENE LA TRANSFORMADA Z X(Z) Y SI EL LIMITE CUANDO Z>¥
Lim X(Z)=SI EXISTE ENTONCES Z->¥
EL VALOR INICIAL X(0) EXISTE Estará EL VALOR INICIAL X(T) O X(K) ESTA DADA POR
X(0)=Lim X(Z)
Z->¥
TEOREMA DEL VALOR FINAL
SUPONGA QUE X(K) DONDE X(K)=0 PARA K MENORES QUE 0, TIENE LA TRANSFORMADA Z X(Z) Y QUE TODA LA POLAR DE X(Z) ESTA DENTRO DEL
PUNTO DE Bifurcación
ES UN PUNTO DESDE EL CUAL LA SEÑAL DE UN BLOQUE VA CONCURRENTEMENTE A OTROS BLOQUES O PUNTOS DE SUMAS
Función DE TRANSFERENCIA EN LAZO ABIERTO
CON Relación AL DIAGRAMA ANTERIOR ES LA Relación ENTRE LA SEÑAL DE RETROALIMENTACION B(S) Y LA SEÑAL DE ERROR ACTUANTE E(S)
Función DE TRANSFERENCIA DIRECTA
ES LA Relación ENTRE LA SALIDA Y(s) Y LA SEÑAL DE ERROR ACTUANTE E(S)
PARA LA Función DE TRANSFERENCIA EN LAZO CERRADO LA SALIDA Y(S) Y LA ENTRADA R(S) Están RELACIONADAS COMO
Función DE TRANSFERENCIA
PARA UN SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO SE DEFINE COMO Relación ENTRE LA TRANSFORMADA DE LA PLACE DE LA SALIDA Y LA TRANSFORMADA DE LA PLACE DE ENTRADA BAJO LA SUPOSICIO DE QUE TODAS LAS CONDICIONES INICALES SON D SU VARIABLE ESTA RESPRESENTADAPOR LA LETRA S.
LAS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA PROPIAS TIENEN NUMERADOR DE ORDEN MENOR O IGUAL AL ORDEN DEL DENOMINADOR , ESTO SIEMPRE OCURRE EN SISTEMAS Físicos.
ECACION CARACTERIZTICA
ES CARACTERIZTICA ESTA DEFINA POR EL POLINOMIO DE X
EN ESTE CASO LA Ecuación Característica ES
RESPUESTA A LA Función IMPULSO
LA Función DE TRANSFERENCIA LTI
G(S)=Y(S)/R(S)
DONDE Y(S)ES LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ES LA SALIDA DE R(S) ES LA TRANSFORMADA DE LA PLACE DE LA ENTRADA
PODEMOS ESCRIBIR LA SALIDA Y(S) EN Términos SI CONSIDERAMOS LA SALIDA Y(S) (LA RESPUESTA) DE UN SISTEMA A UNA ENTRADA IMPULSO UNITARIO CUANDO LAS CONDICIONES INICIALES SON 0 TENERMOS
Y(S)=G(S).R(S)
Y(S)=G(S).1
DONDE R(S)=1
SI TRABAJAMOS CON UNA ENTRADA DE IMPULSO UNITARIO PODEMOS OBTENER Información COMPLETA SOBRE LAS Características Dinámicas DEL SISTEMA AL MEDIR LA SALIDA
QUE PASA CUANDO EL SISTEMA ES DE SEGUNDO ORDEN PARA UN SISTEMA UNITARIO
Análisis DE LA Función PARA SISTEMA DE PRIMER ORDEN
SI LA Relación ENTRADA SALIDA DE UN SISTEMA ESTA DADA POR UNA Ecuación DE SEGUNDO ORDEN SE TIENE
G(S)=Y(S)/R(S)
Análisis DE LA RESPUESTA TEMPORAL DEL SISTEMA.
PARA SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN SI LA Relación ENTRADA SALIDA DE UN SISTEMA REPRESENTADA POR UNA Ecuación DE SEGUNDO ORDEN DE MANERA GENERAL
G(S)=WN^2/S^2+2⌡WN+Wn^2
⌡:FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO
Wn: FRECUENCIA NATURAL