Determinación de la transformada inversa

1) Por inspección en una tabla de transformadas, construida al determinar las transformadas de diversas funciones. Generalmente es necesario efectuar alguna manipulación matemática con las constantes.

2) Empleo del teorema del desplazamiento. Si la transformada de Laplace de f(t) es f (s), la transformada de exp(−αt) f (t) es f (s +α).

3) Descomposición en fracciones parciales: f(s)=Θ(s)/Φ(s). Con ello la inversión de f (s) se reduce a una aplicación repetitiva.

4) Empleo de la integral de convolución. Si la transformada de una función f(t) es f (s) y está compuesta por dos factores g(s) y h (s), la transformada inversa (f(t)) de f (s) se deduce como: f (s) = g(s)h(s)

Función de transferencia

La función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo G(s) está definida como la relación entre la transformada de Laplace de la salida Y(s) y la transformada de la entrada U(s), bajo la suposición de condiciones iniciales nulas.

Propiedades de las EDO lineales

• Si x(t) es una solución, también lo es cx(t), donde c es una constante
• Principio de superposición: si x1(t) es una solución y x2(t) es otra solución, también lo es x1(t) + x2(t)
• Las condiciones iniciales son nulas: x=0 para t=0

Respuesta de la frecuencia de un sistema

La respuesta oscila con la misma frecuencia ω pero atenuada por un factor |G(iω)| y desfasada un ángulo φ = arg(G(iω)) que dependen de ω

Diferencias FB y FF

FB-

VENTAJAS:

• Produce acción correctora en cuanto existe error
• La acción correctora independiente de la fuente y tipo de la perturbación
• Necesita poco conocimiento de la dinámica del proceso a controlar (un modelo aproximado)
• El controlador PID es uno de los controladores de realimentación más versátil y robusto

DESVENTAJAS:

• Solo produce acción correctora cuando la variable controlada se ha desviado del punto de consigna
• No puede adelantarse a las perturbaciones aunque estas sean conocidas o se puedan medir
• La dinámica del sistema en bucle cerrado no suele ser aceptable en procesos con grandes tiempo muertos
• En algunas aplicaciones la variable controlada no puede medirse y la realimentación no puede realizarse

FF: VENTAJAS:

• Se asegura que el sistema es estable y que para una perturbación en la variable medida el control es perfecto
• La perturbación se corrige antes de entrar al sistema

DESVENTAJAS

• Para que funcione el lazo feedforward el elemento medidor de la variable de entrada debe ser muy rápido
• Hay que construir el propio controlador
• Hay que conocer las funciones de transferencia de la variable de salida respecto a la variable manipulada
• Cualquier perturbación del bloque GL1,no se puede detectar independientemente de haber conseguido X=0

A) CONTROLADOR CON ACCIÓN INVERSA

Controlador que ante un incremento positivo (+) de la variable controlada, responde con un incremento negativo (-) de la variable manipulada. EJEMPLO intercambiador de calor: si sube (+) la temperatura de salida, el controlador debe reducir (-) la apertura de válvula para dejar pasar menos vapor y restablecer el valor de la salida.

B) CONTROLADOR CON ACCIÓN DIRECTA

Controlador que ante un incremento positivo (+) de la variable controlada, responde con incremento positivo (+) de la variable manipulada. EJEMPLO un sistema de control de nivel: si sube (+) el nivel del líquido por un aumento del caudal de entrada, el controlador debe aumentar (+) la apertura de válvula para restaurar el nivel inicial

Para control en realimentación

A. Problema del servomecanismo

Se desea un buen comportamiento del lazo de control frente a cambios en el punto de consigna. El controlador debe actuar de forma que X siga los cambios de X c, ya que L=0

B. Problema del regulador

El punto de consigna no cambia (X C=0); el controlador intenta eliminar el impacto de los cambios de la carga y mantener X en el punto de consigna deseado

Efecto del control PI

La combinación de los modos de control Proporcional e integral produce los siguientes efectos en la respuesta de un sistema en lazo cerrado: El orden del sistema se incrementa (efecto del modo integral). El offset se elimina (efecto del modo integral). Para mayor K p, la respuesta del sistema se hace más rápida (efectos de los modos proporcional e integral) y más oscilatoria (el sobrepasaje y la relación de amortiguamiento se incrementan, como efecto del modo integral). Elevados valores de K p crean una respuesta muy sensible y pueden conducir a sistemas inestables (apartado siguiente). Para K p constante, para menor i la respuesta se hace más rápida pero más oscilatoria (efecto del modo integral)

Efecto del control PID

Combinación de los modos de control Proporcional, integral y derivativo. Cualitativamente, tiene las mismas características dinámicas que un sistema PI. Principales ventajas introducidas por la acción de control diferencial: La presencia de control integral hace más lenta la respuesta en lazo cerrado de un sistema. Para compensarlo, puede incrementarse la ganancia del controlador K p. El aumento de K p puede causar una respuesta oscilatoria y llevar a la inestabilidad del sistema