Vectores

Definición

En un cuerpo F, un vector es un conjunto ordenado de elementos de F, simbolizado como A’ = (a₁, a₂, …, a_n). Los elementos de A’ se denominan escalares.

Representación

Los vectores se representan con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas. Si el vector se presenta horizontalmente, se llama vector fila y se simboliza con un apóstrofe (A’). Si se presenta verticalmente, se denomina vector columna.

Igualdad y Desigualdad de Vectores

Igualdad

Dos vectores A y B de n componentes son iguales (A = B) si todos sus componentes correspondientes son iguales: A = B <=> ∀i ∈ ℕ: A_i = B_i.

Desigualdad

Dos vectores son desiguales (A ≥ B) si cumplen: ∀i ∈ ℕ: A_i ≥ B_i (o viceversa, invirtiendo los signos de mayor o igual).

Álgebra de Vectores

Suma

La suma de dos vectores A’ = [a₁, a₂, …, a_n] y B’ = [b₁, b₂, …, b_n] se define como el vector A’ + B’ = [(a₁ + b₁), (a₂ + b₂), …, (a_n + b_n)]. Es decir, un vector del mismo número de elementos que se obtienen sumando los elementos correspondientes de los vectores dados.

Producto por un Escalar

El producto de un escalar x por un vector A’ = [a₁, a₂, …, a_n] es un vector del mismo orden que el anterior, donde cada uno de sus elementos se obtiene multiplicando cada a_i por el escalar: x · A’ = [x · a₁, x · a₂, …, x · a_n].

Producto Interno

El producto interno de dos vectores A’ (fila) y B (columna) de igual orden se define como la suma de los productos de los elementos del primer vector por los correspondientes elementos del segundo: A’ · B = a₁b₁ + a₂b₂ + … + a_nb_n.

Valor Absoluto

El valor absoluto de un vector A se define como: |A| = √(a₁² + a₂² + … + a_n²). Es la distancia que separa al vector del origen del sistema.

Combinación Lineal

Sea V₁, V₂, …, V_n un conjunto de vectores y x₁, x₂, …, x_n un conjunto de escalares. El vector V que resulta de la suma de productos V = x₁V₁ + x₂V₂ + … + x_nV_n se dice que es una combinación lineal de los vectores V₁, V₂, …, V_n, siendo los escalares x_i los coeficientes de esa combinación lineal.

Independencia y Dependencia Lineal

Independencia Lineal

Los vectores de un conjunto son linealmente independientes si ninguno puede ser expresado como combinación lineal de los restantes.

Dependencia Lineal

Los vectores de un conjunto son linealmente dependientes cuando al menos uno de ellos puede ser expresado como combinación lineal de los demás vectores.